《张朝阳的物理课》继续研究氢原子，将哈密顿算符一分为二

1 月 21 日 12 时，《张朝阳的物理课》第二十一期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，继续讲解氢原子。为方便求解氢原子薛定谔方程，张朝阳将定义在直角坐标系上的拉普拉斯算符变换到球坐标系，接着讨论角动量算符的定义与性质，尤其是角动量算符之间的对易关系，最后将哈密顿算符分解为径向动量算符与角动量算符，实现径向与角向的分离，最终得到完备的算符集。后续只要解出其共同本征函数就能解出氢原子的薛定谔方程。

“我们目前正处在研究量子力学的阶段，我还是想把解决氢原子问题作为最近的课题。”张朝阳强调课程重点，“今天继续讲氢原子。氢是宇宙中最重要的元素，了解氢原子，就会了解很多重要的分子，比如水。氢原子是一个三维系统，比一维势阱复杂得多。”

从直角坐标到球坐标：拉普拉斯算符大变身

直播课开始，张朝阳先带网友们一起复习二体系统定态薛定谔方程，将其分解为质心运动部分与相对运动部分，前者容易求解，且与氢原子结构无关；而相对运动部分的薛定谔方程，则是讨论的重点。

张朝阳介绍，相对运动部分的薛定谔方程中的势能项，只与电子和质子之间的相对距离有关，与他们相对位置的方向无关，也就是说，势能只与径向部分有关，而与角向部分无关。因此可以考虑把相对运动的动能项也分解成径向与角向两个部分。然而在此前，动能项中的拉普拉斯算符是定义在直角坐标系当中的：

若将这个拉普拉斯算符也分解为径向部分和角向部分，则需要先求出它在球坐标系中的表达式。“根据球坐标系与直角坐标系的变换关系，可以得到球坐标系中的导数算符。”张朝阳讲到。

他继续推导，与直角坐标系不同，球坐标系的单位基矢量与坐标有关。他具体计算了这三个单位基矢量关于三个球坐标的各种偏导，并最终得到拉普拉斯算符在球坐标系下的形式：

从经典矢量到算符表示：角动量算符及其对易关系

此外，为了给大家介绍角动量的概念，张朝阳回到经典物理，计算了单摆的运动方程，并引入角动量的定义：

在量子力学中，直接把对应的动量变成动量算符即可得到角动量算符：

在此定义的基础上，张朝阳带着网友开始讨论角动量算符的对易关系，并计算角动量算符在球坐标系下的表示。他利用坐标与动量算符的正则对易关系、算符的运算规则，推导出角动量算符不同分量之间的对易关系。

▲ 角动量算符分量之间的对易关系

据此，可以进一步证明角动量算符的平方与角动量算符的 z 分量对易：

哈密顿量变形式 径向角向相分离；H、L2、Lz，构成完备算符集

张朝阳继续讲解，前面已经介绍了球坐标系、导数算符在球坐标系下的表示，那么，根据角动量算符和动量算符的定义，就可以将角动量算符也用球坐标系表示出来：

并逐步求得角动量算符的平方：

他还提醒网友，对比此算符与拉普拉斯算符在球坐标系的表示，会发现其中关于角度的部分可以用角动量算符的平方表示出来：

“将拉普拉斯算符代回哈密顿算符的动能项当中，就可以将哈密顿算符用角动量算符表示出来。”张朝阳揭晓最终答案。

▲ 哈密顿算符的径向与角向分离

通过推导发现，角向部分被全部吸收到角动量算符中，哈密顿量的径向与角向也因此被分离。“由于角动量与 r 无关，根据上述形式的哈密顿量，很容易就能证明角动量算符的平方与哈密顿算符对易。另外前面也证明了角动量算符的平方与角动量算符的 z 分量对易。由此，哈密顿算符、角动量算符的平方、角动量算符的 z 分量，这 3 个算符就构成了一组完备的相互对易的算符集，”张朝阳说，“后续只要解出其共同本征函数就能解出氢原子的定态薛定谔方程。”

“氢原子就是太复杂，我们不得不用到什么就学什么。”直播尾声，他再次鼓励网友。“物理学就是要一步步寻找最简化的方案。在这个过程中，我们需要什么知识，就学什么知识。”

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