花样滑冰怎样才能转得更快？《张朝阳的物理课》介绍质点系的角动量定理

为什么杂技演员走钢丝时会手持长杆？花样滑冰时如何调节转动的角速度？4 月 15 日 12 时，《张朝阳的物理课》第四十五期开播，搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从牛顿定律出发，推导质点系的质心运动定律和角动量定理，并将角动量定理应用于刚体的定轴转动；对杂技表演中平衡杆的作用、花样滑冰时转速调节的原理进行解释说明；最后还计算了长杆在重力作用下的摆动，阐述了长杆单摆与普通单质点单摆的区别。

质点系的质心运动定律：牛顿定律的简单叠加

之前的一系列直播课程都围绕着天体物理进行，主要介绍了太阳相关的知识。未来的直播课程将会介绍中子星，其中很重要的一点是中子星的转动。为给后续课程做铺垫，这一期张朝阳回归到了牛顿力学，介绍与转动有关的一些物理知识。

他从简单的两质点系统入手，假设两个质点的质量分别是 m1 和 m2，它们各自受到的合力分别为：

其中字母 g 表示外力，h 表示两质点之间的相互作用力，下标 21 表示质点 2 对质点 1 的作用，下标 12 类似。这里只考虑力 h 的方向平行于两质点连线的情况。利用牛顿第二运动定律 F=ma，两个质点会产生两个方程，二者相加会得到组合的运动方程：

将前面合力的表达式代入等式左边，有：

其中删除线标注的两项由于牛顿第三定律而互相抵消。前述运动方程的右边可以写为：

上式的 M 是总质量，r_CM 是质心坐标。这样就得到：

这就是质心运动定律。这个结果可以推广到多质点的情况。等式左边是质点系受到的合外力，右边是总质量乘以质心加速度，形式与牛顿定律类似。

质点系的角动量定理：总角动量变化率等于合外力矩

张朝阳强调，质心运动定律虽然形式简单，但是已经丢失了系统的很多信息。“就像 2×6=12 与 3×4=12”，如果只知道最后结果是 12，是不能确定原来是 2×6 还是 3×4 的。质心运动定律所丢失的信息就包括系统的角动量信息。

(张朝阳推导质点系的角动量定理)

先考虑单质点的情况，在某一时刻，以质点的位置矢量、质点受到的合力 F 所在的平面为 x-y 坐标面建立三维笛卡尔坐标，此刻质点的运动方程为：

分别考虑各个基矢的系数，可以得到两个方程：F_x=md^2x / dt^2 和 F_y=md^2y / dt^2。

力 F 对质点的力矩为：

将力和位矢二次导数的关系代入可以得到：

质点的角动量定义为位置与动量的叉乘，有：

考虑角动量对时间的导数：

与前面的力矩公式对比可得：

这就是单质点的角动量定理。单位时间的角动量改变量等于力矩。

在单质点角动量定理的基础上，张朝阳转而考虑两个质点的情况。与证明质心运动定律类似，对两质点应用角动量定理，公式相加可以得到：

其中的力矩之和可以改写为：

最后一个等式之所以成立，是因为质点 1 的位矢减去质点 2 的位矢等于质点 2 到质点 1 的位置矢量，而它与力 h_21 平行，从而叉乘的结果为 0。于是，总角动量单位时间的改变量等于外力矩之和。这个结论可以推广到多质点的情况。如果用 τ 表示外力矩，那么角动量定理可以写为：

或者写为：

角动量定理在刚体定轴转动上的应用

前面推导的角动量定理对所有满足要求的质点系都是成立的，因此也可以应用于刚体的定轴转动。以刚体的转动轴为 z 轴建立柱坐标系，与 z 轴垂直的坐标面使用极坐标。考虑刚体上的一小块质量，把它看成第 i 个质点，它的角动量为：

在定轴转动的柱坐标描述下有：

其中角度 θ 没有标注下标 i 是因为定轴转动下刚体每一点 (轴心上的点除外) 的角速度都是一样的。在定轴转动的情况下，只需要考虑 z 分量的角动量定理。将上式代入质点 i 的角动量公式并利用基矢叉乘关系：

可得该质点角动量的 z 分量为：

质点 i 的角动量还包含径向分量，不过基矢 e_r 对时间的导数正比于基矢 e_θ，不会对 z 方向产生任何影响，因此可以在考虑角动量对时间的导数的 z 分量时把质点 i 角动量的径向分量忽略掉。注意到刚体定轴转动下，r_i 不会随时间变化，于是刚体总角动量对时间的导数的 z 分量为：

后文为了表述的简洁性，将把角动量的 z 分量简称为角动量。定义刚体的转动惯量为：

那么角动量随时间的变化率可以写为：

接着，考虑质点 i 的外力矩：

于是：

这就是刚体定轴转动的角动量定理。

(张朝阳推导刚体定轴转动的角动量定理)

如果外力等于 0，那么上式右边等于零，换言之 Iω 为常数，不随时间变化，这就是刚体的角动量守恒定律。

张朝阳以花样滑冰时运动员在冰上的转动为例进行说明。运动员转动时也会做各种动作，虽然不能看成刚体，但角动量守恒依然成立。运动员在冰面受到的摩擦力可忽略不计，重力与支持力相互抵消，可以近似看成不受外力作用。当运动员转动过程中，如果将手缩回，则转动惯量公式中与手对应的 r_i 变小了，从而运动员的转动惯量也将变小；因为角动量保持不变，所以运动员的角速度 ω 必然会增大；反之，如果运动员的手伸张出去，角速度则会变小。

对于刚体定轴转动的角动量定理，张朝阳则以走钢丝的杂技演员手持长杆作为例子。杂技演员手中的长杆可以帮其提高转动惯量，从而在受到同等大小的力矩扰动的情况下，手持长杆时会比没有长杆时的角速度改变量要小，杂技演员也因此更容易恢复平衡。

作为刚体角动量定理的应用，他还计算了长杆单摆在重力作用下的运动。假设长杆的质量线密度为 μ，长度为 L，那么它的转动惯量为：

对长杆单摆的力矩贡献不为 0 的只有重力，重力力矩为：

将其代入刚体的角动量定理，化简得到：

张朝阳强调，如果简单地把长杆看成所有质量集中于长杆质心处的物体，得到的单摆方程会变为：

其系数 2 与严格推导得到的 3/2 有较大差别，因此，不能简单地把物体的所有质量等效到质心处。回到正确的单摆方程，虽然它本身比较复杂，不能简单地求解，但是当摆动角很小时，sinθ 约等于 θ，在此近似下有：

该方程与谐振子的振动方程类似。于是小幅度长杆单摆的角频率为：

频率和周期分别为：

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