什么是自由？量子力学 VS 牛顿力学

如果有人问你什么是自由，你该怎么回答？

很多人会认为：无忧无虑，想去哪里就去哪里，想在什么时间干什么就干什么，就是真正的自由。

而反过来，你的不自由具体有哪些呢？

经过深思熟虑之后会发现，不自由包含两方面：

一是你的行为受到时间或空间的限制。

例如，你不能在某个时间段内干某件事，或者只能在某个时间段干某件事。

二是某种压力或推动力令你无法停歇。

例如，作为一枚鸡娃，你的父母每天都给你鼓劲，为了将来考个好大学，除了睡觉吃饭，你都在拼命学习。

若转到物理问题，不自由的情况相应也有两种。

第一种情况，物体的运动受到限制，或者说约束。它是通过一类叫约束力（也称约束反力）的作用来实现的。

在约束力的作用下，描述物体运动的变量满足一些方程，方程越多，解出的未知数就越多，剩下的独立变量就越少了。

如果有  个质点，理论上讲，它的每个质点的位置需要 3 个独立坐标（  ,  ,  ）来确定，那么  个质点一共需要  个变量来描述。

假设它们一共受到  个约束，由于每个约束对应一个方程，一个方程理论上可确定一个变量，这样就一共确定  个变量，那么最终剩下的独立变量的个数为 我们称这些独立变量的个数  为体系的自由度。

例如，由  个粒子组成的体系，若粒子在振动，但整体固定不动，则自由度为  ，为什么呢？留给读者自己想一想。

第二种情况，物体受到外力驱动，或者说受主动力作用。例如自由落体受到的重力、拖箱受到的水平拉力都是主动力。

约束力和主动力合在一起就是外力。所以，不自由的两种情况归根结底是一种机制所导致的，它就是外力作用。

总的说来，自由意味着不受外力，而不受外力的物体是自由的。

那么具体来讲，这种不受力而导致的自由是怎样一番图景呢？

牛顿第一定律回答了这个问题：不受力的物体将保持静止或匀速直线运动状态。

换句话说，自由的物体的将保持静止或匀速直线运动状态。

但你发现没有，这个自由其实有多么不自由！

试想，当我们说“一只鸟儿在空中自由的飞翔”时，难道是指它在一条直线上匀速地飞？显然不是！我们是指它随意地在任何地方飞，它往哪里飞都一样可能。

因此，若是真的自由，物体应该能出现在空间中任何地方！这是一个没受到牛顿第一定律影响的、具有正常逻辑思维的人对自由的直观理解。

但牛顿第一定律给出的自由却是：它要不呆在那里不动，要不就沿着一条直线匀速移动，只不过二选一罢了。

当然，你可能也会说，这很正常啊，自由不是绝对的，总要受到底层物理规律的约束。例如能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律等等。

既然物体不受外力作用，那么按照动量守恒定律，它的动量不变，由于动量是矢量，动量守恒意味着运动的方向不变！所以物体只能有两种可能的选择：静止或匀速直线运动。

实际上，在宏观世界中，没有，也不可能有破坏牛顿第一定律的事情发生，要不然，牛顿力学早就被抛弃了！

看来，宏观世界中自由的确只能如此了！

那么，微观世界中的自由也是如此吗？

要知道，牛顿定律只适用于宏观世界，对微观粒子来说，它们服从量子力学的规律，而量子力学中并没有与牛顿第一定律一致的说法。

那么，在微观世界中，自由的粒子真的可以到处出现吗？

答案是：真的可以！量子力学给出的结果正是如此。

虽然量子力学总是那么不可思议的违反我们的直觉，但同时，在很多问题上，它却又与人类最一般的直觉完美符合！而自由粒子的运动规律就是其中的一个例子。

那么，具体来讲，量子力学中的自由粒子到底是怎么回事呢？

在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的。而根据波函数的统计诠释，波函数的模的平方（简称模方）代表粒子在空间某点出现的概率。如果你想预测它将在哪里出现的机会最大，你只要按照波函数的模的平方来计算就可以了。

你只有一次机会找到它，无论你在哪里发现它，并不说明它是从另外某处赶过来的，因为它本来就在那里。虽然它其实也在其他的地方，但你的观测让它的波函数在它被发现的位置坍塌。

有一点值得强调的是，粒子并没有在空间中弥散开来，它是以整体按波函数的模方决定的概率分布在空间中各处。所以当它在某处被发现时，它将作为一个完整的个体被获得，拥有它的本来属性，包括电荷、质量和自旋等。

既然是自由粒子，那么理所当然，它在空间任意点出现的机会是一样的。所以，它不会停在某个地方不动，也不会沿着一条直线匀速运动，而是以相同的几率出现在空间任何一点。

看到没 —— 以相同的概率出现在空间任何一点！试问，世界上还有比这更完美的自由吗？

有的人可能会有一些不切实际的“奇思妙想”，例如他觉得“随时随地想去哪里就去哪里，而且马上就到”才是真正的自由。

拜托，这可不是物理中的自由！恰好相反，这根本不是自由，因为这种“来去的自由”依赖于粒子的速度（因为要快）和加速度（因为要随时调换方向），粒子必然时刻受到强大外力的作用，怎么可能是物理上的自由呢？

在量子力学中，物理上的自由就是不受时空地限制，粒子能出现在所有的地方。并且再加了一个条件 —— 相同的概率！

你可能觉得这个条件是画蛇添足，因为你可能想更多的呆在某个地方，呆在另一些地方的机会少一点，或者你甚至想随意的改变处在某点的概率，但现在却是同样的概率，这看起来不够自由啊！

这种想法与上面那个“奇思妙想”一样，不是物理中所说的“自由”，而是不自由。

说了这么多，你应该明白：量子力学中所给出的自由粒子所享有的自由是物理中最真正、最彻底的自由。而相比起来，牛顿第一定律中所说的那个自由不是真正的自由。

现在你可能有一个疑问：既然是自由粒子，它的动量守恒。那么，其动量应该始终沿某个方向，那它不一直沿着某个直线运动吗？如果这样的话，它哪有机会在整个空间中到处乱跑？

没错，自由粒子动量守恒，也就是说，粒子的动量的确是朝着某个方向。但是，这并不意味着粒子总是沿着某个方向运动！

按照量子力学的统计诠释，粒子只是神不知鬼不觉的突然出现在你探测到它的地方，你不需要也无法知道它是从哪里过来的，因为它在不同地方出现的概率是同时性的。它的整体随时可以出现在空间中任何一点。

所以，自由粒子并不会因为动量守恒而被限制在一个点或一条线上，它在空间各处出现的机会是均等的，它的状态是一种彻底的自由状态。

最后再来看看，满足这种概率均匀分布特征的自由粒子的状态描述是怎样的？又是如何得到的？

前面提到了，量子力学用波函数描述粒子状态，而波函数是量子力学的基本方程 —— 薛定谔方程的解。所以，我们要描述自由粒子，就必须求解薛定谔方程。

薛定谔方程的基本形式为

其中  代表来自外界的作用。既然现在是自由粒子，则  ，所以自由粒子满足的薛定谔方程为 它的解是 

这就是自由粒子的波函数。根据波函数的统计诠释，在空间任意点发现粒子的概率密度为 这说明，在任意点发现粒子的概率是相同的。

说明：既然是自由粒子，其所在空间是无限大的，而粒子在每个地方又具有相同的发现概率，那么这个概率只能为零。因此，自由粒子不可能是定态。但这不影响自由粒子在空间各处概率相等这一结论。

根据德布罗意关系式

以及  可得 这个波在  时刻的等相面为 其中  是波面上的点的位矢在波矢上的投影值。对相同的时刻  ，  是定值，说明等相面都是平面，所以自由粒子的波函数具有平面波的形式。

需要说明的是，虽然经典的平面波的波函数还可以写成实数形式 ——  或  函数的形式，但作为含有虚数  的薛定谔方程的解，自由粒子的波函数必须是复数形式。实际上，只有这样才能保证粒子概率均匀分布的要求，因为正弦或余弦函数的模方对空间依然是周期起伏的。

关于自由粒子的波函数的一件有意思的事情是，很多人喜欢利用自由粒子的波函数来“反推”薛定谔方程。

因为人们凭直觉相信，自由粒子的波函数应该具有平面波的形式。对此波函数求时间和空间偏导，可得到能量和动量的平方分别满足

联合经典力学中动量与能量之间的关系 就可得到一个等式，该式正好是自由粒子所满足的薛定谔方程。 在此基础上考虑到能量中应包含势能  ，这样就得到任意粒子所满足的薛定谔方程了。

之所以这里用带引号的“反推”，因为薛定谔方程现在被认为是量子力学的一条基本假设，是无法从别的结论推得的。也就是说，任何试图推导薛定谔方程的做法本身是没有意义的 —— 虽然你的确可以用这种“反推”的方法找回你大脑中遗忘的薛定谔方程。

综上所述，关于自由的哲学观点，量子力学比牛顿力学先进多了！

其实，岂止自由这件事，在几乎所有方面，量子力学都比牛顿力学更先进和深刻。它被认为是人类洞察自然世界的最高成就。迄今为止，它的理论完美地描述了这个世界，虽然目前人类还无法真正理解它的本质。

参考文献

• Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics(Third ed.). Cambridge University Press.

本文来自微信公众号：大学物理学 （ID：wuliboke），作者：薛德堡

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