只用 300 小时，17 岁高中生解开困扰数学家 27 年难题，因张益唐「入坑」数论

只因在电视上多看了一眼数学家张益唐的纪录片，中学生开始沉迷数论，还独立发表了一篇“博士级别”数学论文。

解决的数学问题，还是曾难住 3 位正经数学家整整 27 年的那种。

当这 3 位数学家中的卡尔・波梅兰斯（Carl Pomerance）本人，看到这篇出自 17 岁少年之手的论文时，也不禁感慨：

这是一篇会让任何一位数学家都为之自豪的论文。

少年名叫丹尼尔・拉森（Daniel Larsen）。

就在今年，他这篇有关卡迈克尔数的论文，已经正式发表在《国际数学研究通告》上，还为他赢得了 10 万美元（约合人民币 72 万元）奖学金。

他本人也告别高中生活，成为了麻省理工学院数学专业的大一新生。

事实上，丹尼尔本人在家乡早已是小有名气的“神童”：

一家子都是数学家，他本人 13 岁就在《纽约时报》上发表过填字游戏，是这个项目史上最年轻作者。

看上去一路顺风顺水，但在与外界交流时，他却说，自己做啥都“像是在挣扎”。

还自曝：喜欢走捷径。

因张益唐“入坑”数论，屡挫屡战

正如开头所说，丹尼尔和数论的缘分，始于一部有关张益唐的纪录片。

张益唐是传奇美籍华裔数学家，因“孪生素数猜想”一举成名。但在功成名就之前，张益唐的经历可谓半生潦倒：

博士毕业后因未拿到导师推荐信，学术道路坎坷，甚至不得不靠快餐店收银员等工作糊口。

但即便如此，张益唐也并未放弃对数论的钻研，直到 58 岁终于大器晚成。

或许正是这种对数论的执着触动了丹尼尔。他开始抑制不住地在脑海中不断思考数论。

一开始，他同样把目光瞄向了“孪生素数猜想”：张益唐的成果首次证明了存在无穷多对间隔有限的质数，但他证明的间隔是 7000 万，这个数字仍可以进一步缩小。

陶哲轩和今年的新晋菲尔兹奖得主詹姆斯・梅纳德，就都做过这方面的工作。

虽然只是一名中学生，丹尼尔还是试图通过阅读张益唐、陶哲轩和梅纳德在这一问题上发表的论文，搞清楚背后的数学原理。

但最终他不得不承认：

这对我来说几乎是不可能的。他们的论文太复杂了。

尽管如此，丹尼尔并没有被当场劝退。相反，他一头扎进了数论论文的海洋，坚持寻找能激发他灵感的那一个“巨人的肩膀”。

终于在 2021 年 2 月，17 岁的丹尼尔・拉森和卡迈克尔数邂逅了。

300 小时攻克数论难题

卡迈克尔数的定义是：

一个正合数 n，对于所有跟 n 互质的整数 b，b^n-b 都是 n 的倍数，那么 n 就是一个卡迈克尔数。

根据费马小定理，所有质数都具备这种特质，因此卡迈克尔数又被称为“伪质数”。

在 1899 年，数学家 Alwin Korselt 还提出了一种卡迈克尔数的等效定义，当正合数 n 满足以下三个性质时：

必须包含不止一个质因数；

质因数均不重复；

对于每一个能被 n 整除的质数 p，p-1 也可以被 n-1 整除

它就是一个卡迈克尔数。

举个例子，最小的卡迈克尔数是 561，561=3×11×17，而 2、10 和 16 均能被 560 整除。

1994 年，雷德・阿尔福德（Red Alford）、安德鲁・格兰维尔（Andrew Granville），以及前文提到的卡尔・波梅兰斯三位数学家，在《数学年刊》上发表论文，证明了卡迈克尔数有无穷多个。

但当他们试图证明这无穷多个卡迈克尔数之间的间隔时，新的困难出现了。

三位数学家认为，这个问题可以转化为这样一种证明：给定一个足够大的数字 X，在 X 和 2X 之间一定存在一个卡迈克尔数。

遗憾的是，从 1994 年到 2021 年的 27 年之间，并没有人完成这个证明。

难度可想而知。因此当丹尼尔的爸爸 —— 印第安纳大学路明顿分校数学教授迈克尔・拉森（Michael Larsen）得知儿子想要攻克这个问题时，他的第一反应是“这可能会变成一段负面经历”。

但丹尼尔的反应却是：

你的意思是我仍有 10% 的机会！

于是，他坚定地投身其中。并且在约 300 个小时（12.5 天）的努力之后，他的论文出炉了。

前面说到，一开始接触数论，丹尼尔就研究过陶哲轩和梅纳德的论文。而在这个有关卡迈克尔数的证明上，他巧妙地站在了前辈的肩膀上。

他修改了梅纳德在证明孪生素数间隔时的用到的方法，将之与阿尔福德、格兰维尔和波梅兰斯的方法相结合。如此一来，就能够确保他最终得到足以产生卡迈克尔数的素数区间。

实际上，这篇论文不仅证明了卡迈克尔数一定会出现在 X 和 2X 之间，其证明方法还适用于更小的间隔。

另一位致力于伪质数研究的数学家、沃福德学院的 Thomas Wright 就表示，“这篇论文改变了研究卡迈克尔数的许多事情”。

值得一提的是，卡迈克尔数与密码学和通信安全息息相关。

最典型的非对称加密算法 RSA 中，生成公钥的第一步就是选取一对很大的随机质数。

而当数字比较大时，想要判断其是否为质数就很麻烦，也很容易与其它数字混淆。这时候，卡迈克尔数的相关研究就能派上用场了。

出身数学世家

如果说与数论的机缘是从张益唐的纪录片开始，那么丹尼尔与数学的缘分在他更小的时候就已经显现。

这与他的家庭氛围息息相关。

丹尼尔出身数学世家，父母都是印第安纳大学的数学教授，他在浓厚的数学氛围下长大。

他的父亲迈克尔・拉森是 1977 的 IMO（国际数学奥林匹克竞赛）金牌得主，本科毕业于哈佛大学，后于普林斯顿大学取得博士学位。

2013 年，迈克尔・拉森因“对群论、数论、拓扑学和代数几何的贡献”而成为美国数学会会员。

丹尼尔 4 岁的时候，父亲组织了一个“数学圈”，周六下午为当地孩子开设免费小组，谈论一些能让孩子们对数学产生兴趣的古怪话题，丹尼尔也参与其中。

在这样的培养之下，丹尼尔从小就对解谜感兴趣，并且虽然不太喜欢打游戏，但却很喜欢鼓捣电脑，去钻研游戏背后的工作机制。

12 岁时，丹尼尔就写出了填字游戏生成软件，并且 13 岁就在《纽约时报》发表了自己的作品，到现在还保持着“最年轻作者”的纪录。

实际上，在丹尼尔研究卡迈克尔数时，他的父亲就是他的第一任导师。

虽然父亲并不对儿子搞定这么难的数学问题抱太大希望，但他还是给予了儿子情感上的支持，并且以对待博士生的态度来指导儿子。

值得一提的是，丹尼尔的姐姐安妮也是“数学神童”，她在高中时就已经开始学习印第安纳大学研究生水平的数学课程。现在，安妮正在 MIT 攻读数学博士学位。

从小在数学的熏陶下长大，丹尼尔自己也逐渐形成了对数学的一套理解。

他认为现如今互联网时代削弱了人们的社区意识以及共同目标，人们与外界的联系越来越少，这形成一个“元问题”，阻碍了其他问题的解决。

而丹尼尔将这视作数学的另外一面，称数学可以建立共识，它充满了和谐与统一。他还说：“上帝是个数学家。”

偶尔躺平的“小数学家”

数学之外，丹尼尔可谓兴趣广泛，小提琴、钢琴、魔方、国际象棋等均有涉猎。

他小时候就能够 45 秒内解出一个魔方，并且还设计了一个乐高机器人，可以把铜便士和锌便士分开。

不过“少年天才”的光环之外，丹尼尔也像其他年轻人一样，喜欢偶尔躺平，喜欢走“捷径”。

就比如说，丹尼尔不太喜欢夏天，一到夏天，他的心情就开始低落，即使在研究卡迈克尔数也会这样，那时他暂时“撂下挑子”，去看了夏季奥运会。

甚至还自述有过这种情况：

感觉冷但是就是懒得拿外套。

想看黑板上的字，但离得有点远就没过去看。

并且当被问到“不擅长什么时”，丹尼尔表示自己“做什么都像是在挣扎”。

我经常选择阻力最小的道路。如果我对某种情况感到不快，我可能并不会积极地去处理它。

目前，丹尼尔已经步入了麻省理工的校园，他同样面临着和大多数人一样的迷茫，不确定下一步要解决什么：

我只是在上课…… 并试图保持开放的心态。

本文来自微信公众号：量子位 （ID：QbitAI），作者：Pine、鱼羊 

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