困扰人类 358 年的数学谜题，几代数学家接力破解

这是一个挑战智者之谜，不知有多少人为它耗尽了一生，最后还是倒在了它的脚下。

它的命题极为简单，使人看着着迷，破解中的艰难却又令人生畏，它向人们挑战了整整 358 年，最终被英国数学家安德鲁・威尔斯破解。1994 年 9 月 19 日，威尔斯揭开了费马大定理之谜，成为披荆斩棘登上这个数学顶峰的第一人。

给世人摆出这个难题的是皮埃尔・德・费马。1601 年费马出生于法国，职业是律师，后来成为当地的司法大员，但在业余却干着自己的“私活”，他在数论、几何和数学分析方面都有所建树。

1934 年，人们曾发现牛顿的一篇手稿，里面提到他对微积分的发明是受到费马切线法的启发。

那时，人们把费马叫做“业余数学王子”，他本人也很喜欢这个称呼。他把全部业余时间用于数学，纯粹是出于好奇心和自娱自乐，却从不关心数学会有什么用处。每当他给自己想出一个奇怪的命题，又费尽了脑筋获得一个奇怪的解答时，他会拿这个题目找朋友寻开心。当朋友们百思不得其解时，他又暗中沾沾自喜，以此为乐。费马自认为什么问题也难不倒他，笛卡尔叫他“吹牛大王”，而英国数学家约翰・瓦利士则叫他“该死的法国佬”。

有一阵子，费马研究起了丢番图的书，在《算术定理》的第二集里，他读到了“毕达哥拉斯定理”，这个定理引起了他的兴趣。中国的勾股定理与毕达哥拉斯定理类似。勾股定理来自《周髀算经》周公与商高的对话，即“勾三股四弦五”，虽然它比毕达哥拉斯定理早了 500 年，但这只是直角三角形勾股关系的一个特例。毕达哥拉斯不仅证明这种勾股关系适用于所有的直角三角形，而且还根据逻辑推理，把它推广到了直角三角形之外。

毕达哥拉斯发现，边长是自然数的直角三角形可以有无穷多个，这表明，直角三角形的勾股关系一定意味着自然数有一个普遍的规律，由此他建立了自然数的一个通用定理，即“一定能找到一个自然数，它的平方一定等于另外两个自然数的平方和”。这就是毕达哥拉斯定理，它起源于对直角三角形的研究。

费马看到了这个定理之后，他把这个定理稍加改造，即用 n 次方代替平方，他想，能不能找到一个不是 0 的自然数，它的 n 次方等于另外两个自然数 n 次方的和呢？如下式所示：

显然，n=1 时，没有问题；当 n=2 时，就是毕达哥拉斯定理；当 n>2 时，又当如何呢？年代久远，费马后来做了什么无从可知，但费马在他的书页上留下了这样几个字，“当 n 大于 2 时，这是不可能的，于此，我确信发现了一个美妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下了。”费马把这个谜留给了后人。

费马大定理，即当 n 大于 2 时，不可能找到一个自然数，它的 n 次方等于另外两个自然数 n 次方的和。人们不禁要问，究竟费马给出了一个什么样的美妙证法？究竟费马是否给出了这个美妙的证法？据说一百年后，大数学家欧拉派人到费马的故居翻了一通，希望找到遗留的手稿，估计他什么也没有找到。

费马大定理这个世纪之谜让人久久不忘，它就像个“魔咒”，牢牢地把人拴住不得脱身。费马之后一百年过去了，欧拉首先获得了一点突破，他证明出了 n=3 和 n=4 时，无自然数解。欧拉之后，费马大定理停止在这里，即使有人问津也没有获得明显的进展。

又过了近百年，突然出现了一位奇女子，这就是玛利亚・热尔曼・索菲。

索菲的出现是奇迹中的奇迹。那时正是法国大革命时代，女人学科学本身就是个奇迹。索菲对数学感兴趣是受到了阿基米德的感动。在罗马士兵攻进家门时，阿基米德因为过分投入研究，没有听见吆喝声而丢失了性命，这个故事感动了索菲，并把她引入到了科学领域。

进入巴黎综合理工学院后，索菲只能隐姓埋名，她使用了“勒布朗克先生”的身份。原来那位勒布朗克从学院退了学，索菲冒名顶替未被察觉。可是她的作业却使她露了马脚。她的作业显示了非凡的数学才华，震惊了她的老师拉格朗日。拉格朗日想约见这位“勒布朗克先生”面谈，索菲这才道出真情。拉格朗日不但没有生气，反而敬佩这位奇女子的才华和坚韧，从此他成为索菲的导师与朋友。

索菲花了几年的时间研究费马大定理。她找到了一种创新的方法，可以证明 n 等于素数时，在 100 以内方程几乎无解。后来狄立希和勒让德利用索菲的方法，分别独立地证明了 n=5 的情况。

多年来，索菲一直把自己的研究结果寄给数学大师高斯过目，写信的时候，自称是“勒布朗克先生”。就在这时拿破仑进攻德国，索菲突然想起了阿基米德，她为高斯感到不安，担心同样的厄运也会降临到高斯的身上。在率军进攻普鲁士的法国将领中，有一位索菲的朋友帕尼提将军，索菲叮嘱他，一定要注意保护高斯教授的安全。当高斯得知“勒布朗克先生”是位女性时，他万分惊讶，于是给索菲写了一封长信，“我无法用语言表达内心的惊讶与敬仰。多么难以相信，尊敬的勒布朗克先生竟然是这样一位杰出的女性！”

就这样，这位数学女杰，以完全意想不到的方式被当时数学界的两位泰斗拉格朗日与高斯识破，他们相识、相知，成了朋友。

索菲之后，又有百年过去了。其间尽管法国科学院、德国哥廷根大学分别发出告示，悬赏费马大定理的破解者，跃跃欲试者不少，大多无果而终。

直到“二战”后，两位日本青年出现了，他们就是谷山和志村。

这是两位性格廻异的朋友，谷山穿着光鲜，有着诗人般的高亢和不拘小节；志村则正经严肃，神情平和。

烽火之中日本数学界与世隔绝，谷山与志村除了研究当时已经过时的“模形式”理论，还研究着代数数论中的椭圆方程自然数解。

正是这两个课题，使他们有了一个绝妙的发现。在一系列的计算中，他们找到了一个规律，每一个椭圆方程都对应着一个模形式。但并不确定这是否是一个普遍的规律，于是他们提出了一个猜想，即“任何一个椭圆方程都有对应着一个模形式”并认为这是个普遍的规律。

当时，这个结果并不被看好，因为椭圆方程的模形式和一般模形式是完全不相关的理论。但是自从他们提出了这个猜想之后的十几年里，又有一些特例被证实，渐渐地，“谷山-志村猜想”成为一个被数学界关注的课题，也有人预料，这个课题有可能成为数学领域一个新分支的发端，更使人没有想到的是，“谷山-志村猜想”竟然成为破解费马大定理的关键。

1958 年，志村到普林斯顿大学做访问学者，谷山却在日本自杀了。破解费马大定理的征途就这样又停顿了下来。

像冥冥之中早有安排，50 年代谷山自杀，另一位数学奇人威尔斯却在 50 年代诞生了。

威尔斯出生在英国剑桥的牛津教授之家。两所名校的熏陶使他自小喜爱读书，更喜欢数学。10 岁那年，他在图书馆里读到费马大定理，这么简单的一个公式竟然三百多年来没人破解。他试图寻找证法，虽然只是徒劳，费马大定理的证明却成了他始终魂牵梦萦的大事。

大学毕业后，威尔斯在大学任教的同时也开始了纯数学的研究。他现在已经明白，越是貌似简单的东西，陷阱就会越深，在费马大定理这个难题上投入精力是件很危险的事。数学却有可能使人耗尽终生，最终结果却化为零。要冲击世纪难题，需要扎实的功底、超常的技能、坚强的意志、严密的逻辑思维、非凡的直觉和智慧，还要有最终无果的准备。

当然，还得有着某种幸运。似乎威尔斯有着天生的幸运，他在剑桥大学专攻的就是椭圆曲线。无形中，椭圆型曲线为他通向“谷山-志村猜想”搭起了一道桥梁。

就在这个时候，他再次受到命运的眷顾。1984 年，在德国召开了一届数学家座谈会。会上一位德国数学家法雷提出了一个证明费马大定理的变通办法。他把费马大定理与椭圆方程挂上了钩，他认为，如果“谷山-志村猜想”普遍正确，那椭圆方程所对应的模形式就会变得“不可思议地奇怪”，以至不可能存在的地步。如果是这样，利用反证法，“谷山-志村猜想”一旦成立，费马大定理也就被证实了。

1986 年，法雷的这个推理又被加州大学伯克利分院的肯尼・黎伯特向前推进了一步。经他证实，法雷所说的模形式确实是不存在的。这样一来，费马大定理的证明就顺理成章地演绎成这样一个结果，只要证实“谷山-志村猜想”成立，费马大定理就被破解。

威尔斯暗下决心，他的目标只有一个，就是找到“谷山-志村猜想”的证明。他将一切琐事排除在外，砍断了一切人际交往，除了必要的教学和讨论会，他不再参加任何活动。他的全部精力都放在了“谷山-志村猜想”上。

自 1986 年威尔斯过上了隐居的生活之后，终日与纸和笔为伴，如同在黑暗中摸索，过着一种十分孤寂的日子。如他自己所说，“就像踏进一座黑暗的大楼。第一间房间是那么黑，你被家具磕磕绊绊，慢慢地摸清了每一个家具的位置。6 个月之后，终于找到了电灯的开关，一下子照亮了整个房间。接下来，我又踏入另外一个房间，在黑暗里再待上 6 个月。就这样，每一次突破，也许只是一两天的事，但是没有前 6 个月的摸索，这种突破根本不可能发生。”

威尔斯的研究并不一帆风顺，前三年他采用了数学归纳法，三年之后，即 1990—1991 年间，他四处碰壁，最后发现这是死路一条。陷入了困境的他，长时间独自闷在计算中沉思，使他疲惫不堪。

在束手无策中，他想以变化作为休息，于是走出与世隔绝，来到波士顿听听同行们的最新研究。令他没有想到，所遭遇的困境，正是黎明前的黑暗，曙光就在眼前。他突然看到了一篇文章，作者是法拉赫，这篇文章似乎就是为他而写。受到这篇文章的启发，他改弦易辙放弃了以前的岩泽理论，开始致力于设法完善柯里亚金-法拉赫的理论。这一改变使他进展神速，终于在 1993 年 5 月的一天，他对妻子说，我解决了费马大定理。

威尔斯终于露面了，1993 年 6 月，他在剑桥大学数学学会上公开了他的成果。讲座分三次进行，分别是模形式、椭圆曲线和伽罗华表示论。虽然他并没有挑明与“谷山-志村猜想”的关联，但到了第二讲结束时，数学界已经疯传威尔斯的重大发现了。到了第三讲，这天是 1993 年 6 月 23 日，牛津和剑桥大学的数学界同行们几乎都来了，他们挤满了会场，大家都为这个“世纪讲座”兴奋异常。威尔斯的讲演非常精彩，讲话结束，掌声雷动。

第二天，安德鲁・威尔斯破解费马大定理的消息登遍了世界各大报纸，他的名字登上了头版头条，《时代》周刊在这年的年度人物版上，称他是“世界上最耐人寻味的人”之一。

威尔斯沉浸在幸福之中，但他万万没有想到，在他的 200 页稿件中有一处小纰漏，这是在对柯里亚金-法拉赫理论进行推理时，犯下的一个疏漏。

现在的威尔斯可没有前 7 年独自研究那样的快感了，他将在几十、几百甚至上千人的注视下工作。他说：“在众目睽睽之下做学问，实在不是我所希冀的，我非常的不喜欢。”从那次“享受光荣时刻”之后，半年过去了，他的论文还没有公开，数学界已经在窃窃私语，怀疑他的证明出了问题。到了 1993 年 12 月 4 日，他不得不站出来承认，他的证明有漏洞，正在设法补正。

到了 1994 年的夏季，他几近绝望。他反复思考，如果放弃，在接近“谷山-志村猜想”的证明中，即使有了疏漏，他的想法和工作仍然可以称得上是一流的，也称得上是成功的告退，但他不想就这么承认失败。1994 年 9 月 19 日这一天，终于再度现出曙光。

回忆起这件事时，他说：“9 月 19 日那天早晨，我坐在书桌旁，细细检查柯里亚金-法拉赫理论。我根本没有希望这能生效，只是想知道，为什么它不行。突然间，我有个想法，如果把原先放弃的那个岩泽理论和柯里亚金-法拉赫理论并在一起，恰恰足以证明‘谷山-志村猜想’！我盯着它整整 20 分钟，无法相信自己竟然一直忽略了它。那一天，我过一阵就到数学系走廊走一走，再回到办公室看看它是不是还在那里。它还在！我简直无法控制自己，我太激动了。在我的生命中，这是最重要的时刻了。我做任何事情，不管过去还是将来，都没有这一时刻对我的意义重大。”

威尔斯实现了他的梦想，1995 年 10 月 24 日，他的成果最终在《数学年鉴》杂志上以“模式椭圆曲线与费马大定理”为题发表。手稿长达 150 页，共耗时 7 年。

自此，挑战人类智慧 358 年的世纪魔咒终于被彻底破解。这是近代几何代数与数论研究的顶峰，称得上是世纪性的成果，为此，威尔斯获得了爵士的封号。

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：魏凤文、武轶，编辑：张润昕

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