看一看折纸所蕴含的数学原理

原文标题:《“你的折纸技术是数学老师教的吧?”》

大家小时候都玩过折纸吧?

今天就来跟大家分享一下我们从小玩到大的折纸中蕴含的数学故事。

一起折个五角星吧!

虽说我们中国人对五角星怀有特殊的感情,但人类对五角星的喜爱,却没有明显的界线。早在公元前的古希腊,人们便深为五角星的魅力所吸引。那不是一般的五角星,是毕达哥拉斯信徒们俱乐部的徽章!

图中的象征性数字,及如同现代立交桥那般的立体线条,使人们似乎感觉到一种无穷的运动,周期为 5,循环反复,永不休止!

不少读者在孩提时代,便已学会了用折纸的办法来剪五角星。下图直观地表现了这一折法的过程,各位小伙伴可以自己拿一张纸来试一试。

最后一剪似乎带有随意性,因而剪出的图形严格讲只能说是“五角星形”,而未必是正五角星。

图中的罗马数字表示折痕的先后顺序

折纸艺术貌似简单,但却包含着深刻的科学道理。折纸的方法也不是单一的。

就以折正五角星来说,人们完全不必用上面那样繁杂的折叠首发!实际上只要打 一个普通的结就足够了!所用的道具只是一条长长的纸带。

并不是所有的人都知道,我们天天司空见惯的打结动作,实际上正在创造一个又一个优美的正五角星。

靠“折”出来的抛物线

可能会有人以为,折纸只能折出直线的图形,因为折痕无论如何只能是直的。其实,这是一种误解!

足够多的直的折痕,有时也能围出优美的曲线。请你用纸剪出一个矩形纸片 ABCD。如同下图(a)那样折叠,使每次折后 A 点都落在 CD 边上。无数的折痕会像图(b)那样围出一条曲线。这样的曲线,在几何学上称为折痕的包络。

图(b)的包络曲线,是一段抛物线弧。当你抛掷石子的时候,会看到石子在空中划出一条美丽的弧线。这条弧线是由于石子同时受地心引力和惯性运动两者作 用的结果。假设你抛掷石子时与水平成 α 角,又石子出手时速度为 v0,则在时刻 t 石子运动的位置坐标 (x,y) 为:

消去时间 t 后,将得到一个关于 x 的二次函数。因此,二次函数的图像也称为抛物线。

有趣的是,当我们抛掷的初速度不变,而仅仅改变抛掷角时,将会得到如下图那样一系列的抛物线,这无数抛物线的包络,也形成一条抛物线,物理学上称为“安全抛物线”。

让我们回到折纸的课题上来,研究一下为什么前面讲到的 折痕包络是一条抛物线?

如图所示,以 AD 的中点 O 为原点,以 OD 为 Y 轴正向,建立直角坐标系。

令 AD=p,则 A 点的坐标为(0,- p / 2); 设 A' 为 CD 上的任意一点,EF 为 A 折向 A' 时纸上的折痕;T 在 EF 上,满足 TA'⊥CD。下面我们证明:T 点的轨迹,即为折痕的包络曲线。

也就是说,T 点的轨迹是一段抛物线弧。剩下的问题是必须证明它与折痕相切。为此,令直线 AA' 的斜率为 k,则

注意到折痕 EF 为线段 AA' 的垂直平分线,容易求出直线 EF 的方程为

包络是微分几何研究的课题之一,1827 年,首创于德国数学家高斯。下图是又一种有趣的折纸包络。

剪一个圆形纸片,在圆片内任取一点 A,然后如下图(a)折叠纸片,使折后的圆弧通过 A 点,如此得到图(b)的无数折痕。这些折痕的包络,便是一个以 A 点和圆心为焦点,长轴为半径的椭圆。读者不妨亲自折一个试一试。

最为神奇的折纸,大约莫过于“三浦折叠法”。它是由日本宇宙科学研究所的三浦公亮教授发明的。这种折纸法,竟能使无生命的纸张具有“记忆”的功能!

大家知道,当我们想把一大张纸折小的时候,我们常用的是互相垂直的折叠方法。这种折叠法的折痕是“山”还是“谷”是互相独立的。从而各种可能的折法组合,总数极大!当一大张折好的纸完全展开时,很难让它重新折回到原来的位置。

另外这种互相垂直的折法,折缝往往叠得很厚,因而在张力的作用下,难免造成破损! “三浦折叠法”也叫“双层波型可扩展曲面”,它不同于“互相垂直折叠法”的地方在于:纵向折缝微呈锯齿形。

这样,当你打开一张用三浦折叠法折叠的纸时,你会发现,只要抓住对角部分往任何方向一拉伸,纸张便会自动地同时向纵横两个方向打开。

同样,如果想折叠这样的纸张,只需随意挤压一方,纸便会回到原状,相当于记住了原样!用三浦折叠法折叠纸张,整张纸成了一个有机的连结体。它的折缝组合,只有全部展开与全部折返两种。因而不会因为折叠时折缝没有对齐而损坏。

上图(b)表示用“三浦折叠法”折叠时的情景。容易看出,这里的折缝是互相错开的。图(a)则是普通折叠法,不难发现,这里的折缝,在重叠处出现了危险的隆起!

今天,神奇的三浦折叠法已经取得了广泛应用。在人类征服太空的宏图中,对于建造大面积的太阳帆、人造月亮等方面,应用前景尤为突出!

来源:《给孩子的数学故事书》
作者:张远南 张昶
编辑:张润昕

本文来自微信公众号:原点阅读 (ID:tupydread),作者:张远南 张昶

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