物理学中最基本的思想 —— 作用原理,支配所有物理学领域

也许现代物理学最基本的思想是作用原理(action principle。物理学的任何领域都被这一规则支配。我们将开始一段旅程,从光穿过水的场景开始,最终以量子力学的讨论结束。

光线和费马原理

考虑一束光从 A 点出发,穿过水面到达 B 点。这束光的路径是怎样的?我们可以假设它沿直线运动以使距离最小化。然而,在现实中,光线并不是这样传播的。相反,它在空气和水的边界处被折射。

但是为什么呢?1662 年,皮埃尔・德・费马找到了答案。他解释,光从一点到另一点的路径使它的传播时间最小化。

费马原理表明,光在两点之间的路径总是使它的传播时间最小化。

根据这一原理,以及光在不同的介质中的速度不同,我们可以用数学推导出斯涅耳折射定律:

斯涅耳折射定律

作用原理

我们之前看到光总是沿着(时间)最短的路径移动。1788 年,约瑟夫-路易斯・拉格朗日扩展了这个想法。他提出,任何在空间中运动的粒子都会使其作用最小化。

作用原理指出,运动中的粒子总是沿着使其作用幅度最小的空间路径运动。

但它的“作用”究竟是什么呢?在物理学中,作用是描述物理系统随时间变化的标量。作用是重要的,因为系统的运动方程可以通过静止作用原理(最小作用原理)推导出来。更正式地说,作用是一个数学泛函,它以系统的轨迹(路径)为参数,以实数为结果。通常情况下,不同的路径有不同的作用量。机械系统 S 的作用,例如,一个球被抛向空中,有这样精确的数学定义,

首先,L 称为系统的拉格朗日量,它是系统的动能 T 与势能 V 之差。

拉格朗日量就是系统的动能和势能之差

我们把它写成 L (t) 来表示它是时间的函数。换句话说,当物体在空间中移动时,它总是随时间而变化。由于作用是时间的积分,它是在时间 t = t_1 和 t = t_2 之间由曲线 L (t) 所包围的面积。

拉格朗日量在现实中没有物理意义。它只在数学上有用。

我们如何在空间中找到一条 S 最小的路径?结果表明,产生最小作用的路径也满足一个叫做欧拉-拉格朗日方程的方程,

欧拉-拉格朗日方程

不用太担心数学细节。我们只需要记住把系统的拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程就能得到它的运动方程。这些运动方程定义了使作用最小化的路径。

回到扔球的例子,把它的拉格朗日量(球的动能减去它的重力势能)插入到欧拉-拉格朗日方程中,就得到了它的运动方程。这些运动方程描述了抛物线路径,假设没有空气阻力。

球以初始角度 theta 发射的轨迹

无限量子路径

但是当这些物体很小的时候会发生什么呢?例如,单个电子,在这些情况下,我们必须求助于量子力学。1948 年,理查德・费曼利用作用原理,将量子力学定义为路径积分,

量子力学的费曼路径积分公式

我们已经知道,运动中的粒子有一条独特的路径,使得它从空间中的一点到另一点的“作用量”最小。此外,这意味着我们知道粒子在任何给定时间在空间中的确切位置。然而,这在量子力学中是不可能的。在量子世界,我们无法知道粒子从 A 到 B 的确切路径。相反,我们应该问,

粒子从 A 到 B 的概率是多少?

这个问题的答案是通过计算量子系统的路径积分得到的。在此过程中,我们需要考虑从 A 到 B 的无限可能的路径,

量子粒子从 A 点到 B 点的无限可能路径中的一小部分。

每条路径都被分配了一个概率振幅。粒子从 A 到 B 的最终概率是将每条路径的概率振幅相加得到的,不管这条路径有多荒谬。

当我们意识到更合理的路径有更小的作用 S 和更大的概率振幅时,作用原理就发挥作用了。相反,不合理的路径具有更大的作用和更小的振幅。由于绝大多数可能路径都是不合理的,它们对总概率的贡献很小。所以,

作用 S 最小的最合理路径对粒子从 A 到 B 的概率贡献最大。

这就是费曼路径积分的基本思想。

(最小)作用原理可用于推导牛顿、拉格朗日和哈密顿运动方程,甚至广义相对论。该原理在现代物理和数学中仍然处于中心地位,被应用于热力学、流体力学、相对论、量子力学、粒子物理学和弦理论。

本文来自微信公众号:老胡说科学 (ID:LaohuSci),作者:我才是老胡

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