提起薛定谔，除了“猫”你还能想到啥？

1925 年到 1926 年，是量子力学的奇迹年，这一年，仅隔 6 个月就诞生了量子力学的两大理论 —— 矩阵力学与波动力学，犹如两颗巨石投入水中，掀起了巨大的波澜，不仅冲击到老一代物理学家，也激发了更年轻一代的活力。

两支理论形成了两大学派，把整个物理学界卷入到一场热烈而持久的纷争之中。纷争推动着理论的发展，也开启着新思想，互补性原理、波函数“坍缩”、量子的纠缠态等原理在争辩中诞生并成熟，量子力学第三代新人也在这场大争辩中孕育成长起来，他们成为量子理论发展的第三梯队，掀起了量子力学理论与实验研究的新高潮，由此相继发展起来量子场论、标准模型、粒子物理甚至宇宙学的量子理论。

量子力学奠基人埃尔温・薛定谔也曾是位“少年奇才”。他热爱数学并精于数学，不仅把数学用于开拓量子理论，由此创建了举世闻名的波动力学，还把数学应用到了广义相对论、宇宙学、气象学、声学、放射学、介子物理、量子场论、天体物理、光学、统一场论，甚至生命科学的研究之中。

尽管薛定谔取得了很多的成果，但在量子理论的研究上，他起步很晚，行进也缓慢而曲折。在创建波动力学时，薛定谔已年近 40 岁，而海森堡建成矩阵力学时年仅 24 岁。

薛定谔起步晚是有原因的。1906 年薛定谔进入维也纳大学，师从著名物理学家玻耳兹曼学习理论物理，可不到半年，玻耳兹曼因严重的抑郁症在意大利罗马自杀身亡。玻耳兹曼的去世，使踌躇满志的薛定谔失去了追随的目标，在早期科学生涯中，他缺少了一个领航者。

在 1921 年到 1922 年间，物理学处于量子力学大发展前夕，许多有价值的著作和论文相继问世。在参加第 4 届索尔维物理学大会时，薛定谔意识到研究电子是物理学发展的主流，可是他却拿不出任何像样的论文来。这件事对薛定谔刺激很大，正如他若干年以后所说：“在我的科学生涯中，我始终没能沿着一条主线前进，也没有一个成果能够确定我长时间的发展方向。…… 尽管有了一些成绩，可从来没有哪一个是领先的，不是二手的，就是在附和别人之后，或是在反驳别人的激发下完成的。虽然有时这种延伸的成果看起来也很重要，但终归是一种连接关系罢了。”说这话的时候，薛定谔已经 34 岁了。

在近代量子物理领域，前沿的物理大师们成名的巅峰年龄大多是二十几岁，最多也是三十出头。爱因斯坦提出光量子论时 26 岁，海森堡建立矩阵力学时 24 岁，狄拉克提出著名方程时 25 岁，泡利提出不相容原理时 25 岁，玻恩提出波函数统计性诠释时 30 岁，德布罗意提出波粒二象性时 31 岁……，薛定谔猛然意识到危机，已经 34 岁的他却还没有选定研究方向。

此时，苏黎世大学正在遴选教师，看完薛定谔的申请书，教授委员会对他的评价是：“薛定谔在力学、光学、声学、毛细现象、导电性、磁性 、放射性、引力论等多方面都具有成果。”虽然他是个全才，但是“没能在任何一个特别的领域中做出瞩目性的成果”，甚至有人认为，“正是这样宽广的兴趣和多面手的能力，不可能有什么重大的发现。”事实证明，这个断言为时过早。

在苏黎世大学，薛定谔的授课任务十分繁重，在刚进入这所大学的第一个学期，他每周讲授 4 学时分析力学、4 学时电学理论，2 学时理论物理专题讨论和 1 学时的物理学进展报告。在理论物理课中，还有一门“可变形体动力学”，正是这次授课的机会，使他熟悉了张量的运算。除授课外，他还有科研课题，除延续过去的相对论、电子论、色彩学、热力学与统计力学方面的课题以外，他开始新增了玻尔的原子量子论。玻尔、克拉默斯和斯拉特的联合论文，即被称为 BKS 的理论刚一问世，就受到了薛定谔的关注。1924 年 9 月 5 日，薛定谔通过计算发表了对这一理论的讨论。由此看出，薛定谔正在缓慢地接近原子量子论的研究前沿。

正如薛定谔对自己的评价，在“附和别人或反驳别人的激发下”做“二手”研究的习惯，使他非常善于从别人发现的东西中进行别人从没有过的思考，从而得到别人没有得到的东西。1924 年，法国物理学家路易斯・德布罗意发表了关于微观粒子波粒二象性的论文，而这篇论文正是薛定谔创立波动力学的一个起因。

薛定谔在准备“分子统计学”这门课时，找到了一个值得研究的课题，开始从量子论角度研究气体理论。1925 年 12 月，他完成了“关于爱因斯坦气体理论的研究”的论文。这篇论文以量子论为基础，以熟练而精湛的数学推导，精确而细致的理论分析，采用了概率统计的评价方法，推导出爱因斯坦-玻色气体统计规律。这篇论文成为薛定谔创立波动力学前夕闪亮登场的一笔。

1925 年冬季学期，薛定谔的身体不太好，可授课任务还是非常繁重，他一周有 5 学时的电磁理论课、2 学时的光谱理论课，此外还有 2 学时的电磁学课程专题讨论，同时还要给苏黎世联邦理工学院（Eidgen.ssische Technische Hochschule, ETH）做每两周一次、每次 2 学时的专题讲座，这一讲座需要紧跟当时物理学前沿课题的发展，在近代物理迅猛发展的当时，其难度可想而知。此时德布罗意的论文在学生中引发了讨论热潮，ETH 物理系主任德拜建议薛定谔为这个讲座开出关于波粒二象性理论的专题报告。

苏黎世联邦理工学院的物理讲座具有很高的声誉，曾影响了一代物理新人。在当时，量子力学的第三代人物，例如冯・纽曼和菲利斯・布洛克就在听这个讲座。这一年的 11 月 23 日，薛定谔在 ETH 开出了关于德布罗意论文的讲座。可能是期望太高，第一次讲座之后，德拜很不满意，但是第二次的情况就大不同了。德拜的学生布洛克后来回忆说：“德拜很不满意地说，这个报告简直太‘幼稚’了。早在当索末菲学生的时候，他就知道了波动该有什么样的性质，也知道应该由一个方程（来表述）。可是两个星期之后的另一次讲座上，薛定谔在上课的开场白就说，‘我的朋友德拜建议我，应该拿出一个波动方程来，现在我找到了这个方程！’”薛定谔的波动力学就在这次讲座中亮相了。

薛定谔的波动理论是在什么时间建成的，时间并不可考。薛定谔有随时记录的习惯，虽然根据课题内容与进程，这些笔记也有分类，但是多没有标注日期。

1925 年圣诞节休假，薛定谔去往阿洛萨度假，似乎就在这一时期，他的波动力学研究有了明显的进展，许多人认为波动力学就诞生在度假之中。

度假期间，在他写给好友威廉・维恩的信中说：“我正为这个理论苦苦挣扎。如果说有一个人知道这里面的数学之美，那就是我。对这事我相当乐观，只有我能把它解出来，它是一个完美的理论……，我需要做的就是做一点细节上的补充，使它更容易看得懂……，这是一个不大为人所知的类似贝塞尔的线性微分方程，我期望着尽快把它发表出来。”

这封信表明，他此时不仅得到了定量条件下具有全部本征值的波动方程，而且已经尝试着求解了。薛定谔的波动方程形式如下：

在当时，他还没有把三维波动方程的分量式分离出来，也不可能发现方位角和磁量子数如何从方程的角分量中显现出来，因此这个理论应该还没有最终完成。

有了波动方程之后，薛定谔的第一步是分离变量。在单电子球对称的情况下，首先得到它的电势能，获得球对称情况下的 3 个标准微分方程。其中之一称作射线方程，这个方程最令薛定谔感到头疼。度假过后回到苏黎世，他闭门不出终日对付它。

1926 年 1 月 11 日，他终于找到了方程解，后人称这个解为柯林-高登方程（Klein-Gor-don-Equation），令他感到困惑的是，把这个解与实验结果比较，发现明显地不符。后来证明，问题出在整个理论框架中没有计入电子的自旋，而在当时电子的自旋尚未被发现。但是这个解对于自旋为零的粒子来说，已经算是相当完美了。

薛定谔终于完成了波动力学论文。他分两次寄出，第一篇投寄到《物理年鉴》杂志，杂志编辑部收到的时间是 1926 年 1 月 26 日，题目是“本征值问题的量子化”。4 周之后，他以同样的题目发表了第二篇论文，接着在未来的不到半年的时间里，他才思泉涌，一连发表了 6 篇论文。薛定谔的研究方法非常巧妙，通过力学和光学之间的哈密顿类比，不仅推导出了波动方程，还进一步分析了波动力学与几何学的关系，讨论了波动方程在单电子谐振动和双原子分子理论中的应用，得到了与实验数据一致的结果。

值得一提的是，薛定谔以数学形式在力学和光学中做出类比，从中表述了量子的波动规律。这 6 篇论文创立了波动力学的完整框架，系统地回答了当时已知的各种量子现象。这一理论所具有权威性与前瞻性使其成为科学史中绝无仅有的佳作。

薛定谔的成果令整个物理界为之震惊，对量子论的鼻祖普朗克的触动最大。他说，在读到第一篇论文时，他“就像小孩子被谜语困扰很长时间后，突然知道了谜底那样的兴奋。”他更赞赏第二篇论文，称它“是一篇划时代的杰作”。

爱因斯坦也评论道：“论文所透露的思路，来源于一个真正的天才！”不久，爱因斯坦又发来一封信：“你的量子条件下的数学理论取得了决定性的进展，我确信，海森堡和玻恩的（矩阵力学）方法已经失去了领先地位。”虽然爱因斯坦说出此话为时尚早，却提醒了薛定谔，他将面临一场挑战，如何对付同一时期出现的另一个理论 —— 矩阵力学。

果然，两个量子力学理论发生了直接的碰撞。在薛定谔完成了波动力学方程的 6 篇论文之后，他已经成为世界知名人物。1927 年，薛定谔受到德国科学院邀请，在德国科学学会巴伐利亚分会做关于波动力学的报告，量子力学的矩阵力学创始者海森堡也到场了。

在薛定谔做报告时，海森堡耐着性子静听。报告即将结束，海森堡终于忍耐不住站了起来，他指出，薛定谔的波动力学不能解释一些基本的物理现象，例如不能解释普朗克的辐射定律，不能解释康普顿效应，甚至连原子的特征谱线的强度都不能给予解释，因为这些都表现了不连续性的量子特征，或者说与量子跃迁的特征有关。在这一连串的攻击之下，会议的主持人，也是海森堡的老对头，哥廷根大学的实验物理学家维恩强令海森堡坐下。薛定谔没做任何解释，就此散会了。事后海森堡对他的师兄泡利说，维恩“几乎要把我从屋子里扔出去”。

从此量子力学两派之争开始了，一方以爱因斯坦为首，一方以玻尔为首，对量子力学理论的诠释展开了长达十几年的激辩。量子力学在争论之中发展壮大起来，从这场争辩之中，更涌现出了量子力学的第三代新人，惠勒、冯・诺依曼、费曼、玻姆、贝尔、阿斯佩和克劳瑟等人，他们的研究成果扩展了对量子力学理论的诠释。

1933 年，薛定谔因对量子力学的贡献，获得诺贝尔物理学奖，与他同台领奖的还有他的争论对手，矩阵力学的创建者海森堡和狄拉克。

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：魏凤文、武轶，编辑：张润昕

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