台风中心没有风，引出一个数学问题......

如果有人告诉你，在任何时刻地球上总可以找到一个点，此时此刻在这一点上没有风！对此你可能会感到十分惊讶，然而这却是事实。缩到小范围可能会更加使你相信这一点。

大家知道，台风是热带海洋上的大风暴，它实际上是一团范围很大的旋转空气。

我们常听到新闻中台风的消息，说是台风中心附近的风力达到 12 级。这是指台风中心附近的风速达 33 米 / 秒，它相当于一列高速奔驰的火车的速度。

更有甚者，如 2019 年第 9 号台风“利奇马”（超强台风），其中心附近的最大风速竟达 52 米 / 秒。

可是，在如此猛烈的台风的中心，在大约 10 千米直径的范围内，由于外围的空气旋转得太厉害，不易进到里面去，所以那儿的空气几乎是不旋转的，因而也就没有风。

下面是一则真实的报道，这是一位美国的气象学家乘坐台风侦察机，穿入太平洋上的一个台风眼时，对目睹的情况所做的生动描述。它无疑能够加深你对“台风眼”这一奇异景观的了解。

“…… 不久，在飞机的雷达荧光屏上开始看到无雨的台风眼边缘。飞机从倾盆大雨颠簸而过以后，突然我们来到耀眼的阳光和晴朗的蓝天下。在我们的周围展现出一幅壮丽的图画： 在台风眼内是一片晴空，直径 60 千米，其周围被一圈云墙环抱。有些地方高大的云墙笔直地向上耸立着，而在另一些地方云墙像大体育场的看台倾斜而上，台风眼上边圆圈有 10~12 千米，似乎缀在蓝天背景上……”

看！在那宛如万马奔腾的怒吼的狂风中，果然存在着一个风的不动点。

不动点的现象在自然界、生活中随处可见。

日本东京工大田中富教授在《科学之谜》一书中，提到一件有趣的事：老师带着一批学生到一座寺庙去参观，这位老师把头伸到大吊钟里去观察钟的结构，有个学生很淘气，想吓唬这位老师，就使劲用撞钟木去敲击大钟，结果不但没有吓着老师和旁边的女同学，自己反而被震耳的钟声吓了一大跳。

为什么会出现这种现象呢？

田中富教授画了一张图并解释说，这与在一个碗里倒满水，然后用筷子敲碗边，我们可以看到波纹从碗周围向碗中心移动的现象是一个道理。此时中心部分波纹因互相抵消而消失。

图中的 A、B、C、D、E 实际上是声波的不动点。相反，敲钟学生站的地方 F，恰是钟振动最大的地方，所以声音自然特别震耳。

下面你可以做一个有趣的游戏。

拿来同一个人的大小两张照片，把小照片随手叠放在大照片之上，然后你向观众宣布：小张照片上一定有一点 O，它和下面大张照片与之正对着的点 O′，实际上代表着同一个点。

对此，你的观众一定会半信半疑。不过，当你告诉他如何找到这个不动点时，他们的一切疑虑都会烟消云散。

设大照片为 A′B′C′D′，小照片相应为 ABCD，延长 AB 交 A′B′于 P 点，过 A、P、A′，及 B、P、B′分别作圆。则两圆交点 O 即为所求的不动点。

事实上由上图知： 

这就说明了 O 点在大小照片中，所处的位置没有变动，即 O 为照片位置变换的不动点。

瞧！不动点现象是多么神奇，多么耐人寻味！

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的，也就是自转运动的不动点。

关于不动点系统的研究，始于 20 世纪初，1912 年，荷兰数学家 L.E.J.布劳威尔（L.E.J.Brouwer，1881—1966）证明：任意一个把 n 维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点。

这就是著名的不动点定理。

对于大多数的读者，布劳威尔定理中的一些数学术语，无疑需要加以解释。

例如，粗浅地说，就是“连续变换”原先距离很小的两点，变换后的距离依然很小。至于“n 维空间”，这是一个抽象的概念。

具体地说，直线是一维空间，平面是二维空间，普通空间是三维空间，等等。因而线段是一维球体，平面圆域是二维球体，普通的球是三维球体，等等。

布劳威尔定理的严格证明虽说很深奥，但有关布劳威尔定理的一些实例却是很有趣的。

拿一个平底盘和一张恰好盖住盘底面的纸，纸上的每一个点正好对应着它正下方盘面上的一个点。现在把纸拿起来随便揉成一个小纸团，再把小纸团扔进盘里。

那么，根据布劳威尔不动点定理，不管小纸团怎样揉，也不管它落在盘底的什么地方，我们可以肯定，在小纸团上至少有一个点，它恰好位于盘子原先与这一点对应的点的正上方。尽管我们说不准这样的点在哪儿。

以上事实我们可以给予如下说明： 假设小纸团在盘面上的正投影为区域 Ω1。显然，原纸片上与 Ω1 相对应的点一定位于 Ω1 的正上方，假设纸团里的这部分在盘底的正投影为区域 Ω2，显然 Ω2<Ω1。

同样，原纸片上与 Ω2 相对应的点一定位于 Ω2 的正上方，而纸团里的这部分在盘底的正投影为区域 Ω3，又有 Ω3＜Ω2，如此等等，可以反复做下去，得到一连串一个比一个小的区域 Ω1，Ω2，Ω3，…，这些区域一个含于另一个之内，形成一层小似一层的包围圈。因此最后必然缩到“一个点”（或“一个小区域”），那么这个点（或小区域上的点）在纸团上的位置，一定恰好在该点的上方。

布劳威尔不动点定理问世后，引起了各国科学家的极大兴趣，他们对此做了大量的工作，取得了许多奇妙的应用。

举一个颇有影响的例子。

1799 年，德国数学大师高斯证明了 n 次代数方程

至少有一个根。这就是著名的代数学基本定理。

尽管这个定理的名称，对于 200 多年后的今天似乎不确切，但对于 200 多年前以方程理论为主体的代数学，却没有言过其实。

今天，当我们研究了不动点理论之后，可以把方程 f（x）=0 的求根问题，转化为求函数 φ（x）=f（x）+x 的不动点。

由于方程 f（x）=0 的根不可能超越复数平面的某个半径很大的圆域，又函数 φ（x）显然是连续的，因此在这个大圆域运用布劳威尔不动点定理，知道至少存在一个点 x，使得

φ（x）=x

即 f（x）+x=x

也就是说，方程 f（x）=0 至少有一个根。看！一个在代数学上起着巨大作用的定理，竟如此轻松地证明了。

不过，对于不动点理论，科学家们似乎感到不尽如人意，因为这个理论只告知不动点的存在，却没说不动点在哪里。这个问题困扰了他们达 50 年之久，直至 20 世纪 60 年代后期，情况才有了转机。

1967 年，美国耶鲁大学的斯卡弗教授，在不动点由未知转向已知方面，取得了重大突破。他提出了一种用有限点列逼近不动点的算法，使不动点的应用，取得了一系列卓越的成果。

有趣的是，对不动点理论做出如此巨大贡献的斯卡弗本人，却是一名专攻经济学的学者。数学上的理论，使斯卡弗和他的同行们在经济学领域犹如猛虎添翼，取得了累累硕果。

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：张远南、张昶，编辑：张润昕

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