天才哈密顿，从四元数中构造出的代数系统，可以同非欧几何相媲美

毫无疑问，威廉・罗恩・哈密顿是爱尔兰历史上最伟大的科学家。1805 年 8 月 3 日，哈密顿出生在爱尔兰都柏林。他的叔父是一个很有造诣的语言学家 —— 对于希腊语、拉丁语、希伯来语、梵语、闪族语、巴利语以及各种方言都能够脱口而出。在叔父的影响下，哈密顿 3 岁时英语就已非常好；4 岁时是一个不错的地理学者；5 岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语；8 岁时又掌握了意大利语和法语；他还能用拉丁语即兴创作。最后，他在不到 10 岁时开始学习阿拉伯语和梵语，为他在东方语言方面非凡的学术成就打下了坚实的基础。哈密顿 13 岁时就成了一个历史上最令人震惊的语言学怪物之一。

哈密顿 12 岁时，在伦敦的威斯敏斯特学校遇到了搞计算的美国孩子科尔伯恩。科尔伯恩给了哈密顿一些科学方面的启蒙。17 岁时，哈密顿通过积分学掌握了数学，并获得充分的数理天文学知识，使他能够计算日月食。他研读了牛顿和拉格朗日的著作。所有这些都是他业余的消遣（但已经作出了“一些奇特的发现”）。

哈密顿提到的发现，可能是他的第一项伟大研究的开端 —— 光学中的射线系统。在这以前，他曾经发现拉普拉斯试图证明力的平行四边形法则中的一处失误。

哈密顿进大学以前从未上过学，他所有的初级训练都来自于他的叔父和自学。他在准备都柏林大学三一学院的入学考试时，被迫专心攻读古典文学，这并没有占据他的全部时间，因为他在 1823 年 5 月 31 日写信给他的表兄阿瑟说，

在光学中，我作出了一项非常奇特的发现 —— 至少我是那样认为的……

这是指 " 特征函数 "，这个发现标志着哈密顿堪与历史上任何真正的少年数学家匹敌。1823 年 7 月 7 日，年轻的哈密顿在 100 名报考者中轻而易举地取得第一名，进入了三一学院。他很快就成为著名人士，在他还是一个大学生时，他在古典文学和数学方面的杰出才能就已在英格兰、苏格兰和爱尔兰的学术圈子中激起人们的好奇心。有人甚至宣称，第二个牛顿已经出现。最重要的是，他完成了他的关于射线系统的划时代论文的第一部分的初稿。当哈密顿把他的论文提交爱尔兰皇家科学院时，布林克利博士评论说，

这个年轻人，我不说他将要成为他那一代的第一数学家，而是说他就是他那一代的第一数学家。

哈密顿在三一学院大学生涯的结束，比它的开始更加令人惊奇。布林克利博士辞去他的天文学教授职位。按照英国通常的习惯，为空出的教授职位“登了广告”，几位著名的天文学家，包括后来的英国皇家天文学家乔治・比德尔・艾里都参与了竞争。经过讨论以后，理事会放弃了所有的申请者，一致选举当时 22 岁的大学生哈密顿为教授，而哈密顿并没有申请过。

他开始干得很出色。哈密顿明智地把他的主要精力用在数学上。在 23 岁时，他发表了自己还是一个 17 岁的孩子时做出的那些“奇怪发现 " 的完成形式，即《射线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于光学，就像拉格朗日的《分析力学》之于力学。它在哈密顿自己手里被扩展到动力学，用它那也许是最终的、完善的形式来表述那门基础学科。

哈密顿在第一篇杰作中引入应用数学的一些方法，在今天的数理物理学中是不可或缺的，理论物理一些特殊分支的许多工作者的目标，正是把整个理论概括成哈密顿原理。14 年后，这篇杰出的著作使得雅可比在 1842 年于曼彻斯特举行的英国协会会议上，宣称 " 哈密顿是你们国家的拉格朗日 "，这里的国家是指讲英语的民族。由于哈密顿本人费了很大的力气用非专业人员所能理解的语言描述了他的新的方法的实质，我们引用他本人于 1827 年 4 月 23 日提交爱尔兰皇家科学院的论文摘要：

在光学中，一条光线被认为是一条直线或折线或曲线，光沿着它传播；射线系统被认为是这些线的一种聚集，它由于某种共同的联结、起源或产生方面的某种相似性，一句话，由于某种光学的统一性而结合在一起。因此，从一个发光点发出的光线组成了一个光学系统。当它们在镜子上反射回来以后，它们组成了另一个光学系统。研究一个（如这些简单事例中）我们知道其光学起源和历史的系统中光线的几何关系，探究它们之间是怎样配置的，它们是怎样发散或会聚或成为平行的，它们是以什么样的截角相切或相割成何种曲面或曲线的，它们怎么能结合成部分光束的，怎么能决定每一条特定的光线，并使它与其他光线区分开来，这就要研究射线系统。

为了推广这种系统的研究，以便能够不改变程序就过渡到研究其他系统，同时为了确定一般的规则和某种一般方法，通过它们把这些孤立的光学装置结合和协调在一起，就需要构造射线系统理论。最后，为了能用现代数学的力量做到这些，用函数代替图形，用公式代替图表，就要构造这些系统的代数理论，即代数对光学的应用。

为构造这样一种应用，必须运用笛卡儿把代数应用于几何所采用的方法。在一般科学进展中，空间的三个维度得到了它们的三个代数等价物，还有适当的概念和记号。这样，通过将联系一个平面或一个曲面上任意点的三个坐标的关系作为该平面或该曲面的方程，这个面就成为代数定义的了；推及所有的点，于是，一条直线或一条曲线，可以用同样的方法，通过指定两个这样的关系来表示，这样的关系相应于两个曲面，直线可看作它们的交线。以这种方式，通过对相应的三个可变量方程的一般研究为中介，对曲面和曲线进行一般研究，就可能发现全部共有的性质；即便每个几何问题不是能立即解答，它们至少能够用代数表示，因此每一个代数中的改进或发现就能够在这种几何中得到应用或说明。

空间和时间的科学相互之间密切交织在一起，并且牢不可破地联系在一起了。从此以后，改进一个学科就能改进另一个学科。给曲线画切线的问题导致了流数或微分学的发现；那些求长和求积的问题导致了其反演，即积分学；曲面和曲率的研究要求偏微分的微积分学；等周问题导致变分学的形成。反之，代数科学中的所有这些伟大的步骤都有其对几何的直接应用，这导致了点或线或面之间的新的关系的发现。因此即使这个新的方法的应用不是如此多样和重要，也仍然会有把它作为一种方法进行思考，从中派生出高度智慧的乐趣。

这个坐标的代数方法对光学系统的第一个重要应用，是由拿破仑在埃及军队中的一名法国工程军官马吕作出的，他在物理光学史上作为反射光存在偏振的发现者而知名。马吕在 1807 年提交法兰西研究院一篇深刻的数学著作，属于上面提到的那种类型，题目是《光学专论》。那篇论文所运用的方法，可以这样来描述 —— 任何光学系统的一条直的光线的方向，都被认为是取决于该光线上某个特定点的位置，并遵循表征该特定光学系统且将其与其他系统区分开来的某个定律；这个定律可以用代数方式表示，办法是给这条光线上的另外任一点确定三个坐标的表达式，即任一点的三个坐标的函数。

马吕由此采用了表示这三个函数（或至少等价于这些函数的三个函数）的一般符号，通过非常复杂但对称的计算，得出了几个重要的一般结论；许多这样的结论，连同许多其他结论，后来我自己也得到了，那时我并不知道马吕做过的工作。我用了几乎同样的方法，开始了我自己的把代数应用到光学的尝试。但是我的研究不久就引导我用了一种很不相同的（我相信我已经证明了）、更加适用于光学系统研究的方法，代替了马吕的方法。由于不须用上面提到的三个函数，或至少它们的两个比，这种方法只用一个函数就足够了，我称这个函数为特征函数，或称主函数。这样，他通过设置一条光线的两个方程作出了他的推理，另一方面，我则建立和使用了一个系统的一个方程。

我为此目的而引入并作为我在数学光学中演绎法基础的这个函数，对于以前的作者们来说似乎是那门科学中非常高深、广博的归纳结果，这个已知结果通常称为最小作用量定律，但有时也称为最小时间原理，它包括以前发现的有关的一切规则，这些规则决定了光沿着它们传播路线的形式和位置，以及由寻常或非寻常反射或折射产生的那些光线方向的改变。

光从任何第一个点到任何第二个点都要消耗某个确定的量 —— 在一种物理理论中它就是作用量，在另一种理论中则是时间；如果路径的两端保持不变，那么光走实际路径，与它走任何其他路径相比，它所消耗的这个量最少；用专业的语言说，就是其变分为零。我的方法在数学上的新意，首先在于把这个量考虑成这些端点坐标的函数，按照我称之为变化作用量定律的规律，当坐标变化时，作用量也变化；其次在于把所有关于光线的光学系统的研究化简成对这一个函数的研究：在一个全新的观点下给出数学光学的化简，一个类似于（如我认为）笛卡儿给出代数对几何的应用方面的化简。

无须给哈密顿的这个说明添加什么了。整个摘要读第二遍时可能会更有收获。在这个关于射线系统的伟大工作中，哈密顿甚至建立了比他所知道的更好的东西。在上述摘要写出后几乎整整 100 年，人们发现哈密顿引入到光学的方法，正是与现代量子理论以及原子结构理论相联系的波动力学所需要的方法。可以回想牛顿偏爱光的发射或微粒理论，而惠更斯试图利用光的波动理论来解释光的现象。两种观点在现代量子理论中结合在一起，并在纯数学意义上协调了起来。现代量子理论形成于 1925 年。1843 年，哈密顿 28 岁时，实现了他把光学原理扩展到整个动力学的抱负。

哈密顿对光学中称为锥形折射的预言，是定性加定量的类型（如爱因斯坦的光线偏转预言和麦克斯韦的无线电波预言）。基于他的射线系统理论，他在数学上预言，与光在双轴晶体中的折射相联系，会发现一个完全出乎意料的现象。他在琢磨他关于光线的论文《第三个补充》时，有一个发现使他自己吃了一惊，他这样描述这个发现：

某些情形下，在一个双轴晶体内，相应于或产生自单独一条入射光线，应该有不止两条，也不止三条，也不止任意有限条折射光线，而是有无穷多条折射光线，或者是折射光线的一个锥；在其他一些情形，在这样一个晶体中单独一条光线会产生无穷多条光线，排列在另外某个锥中。因此，他由理论预见到光的两个新的规律，并把它们命名为内锥折射和外锥折射。

这个预测，以及它被汉弗莱・劳埃德的实验所证实，使哈密顿得到了无限的赞扬。按照一些人的看法，这个惊人的成功是哈密顿事业的顶点；在这项关于光学和动力学的伟大工作之后，哈密顿衰落了。另外一些人，认为哈密顿最伟大的工作还未做出 —— 这就是四元数理论，哈密顿本人认为这是他的杰作，而且是使他得以不朽的杰作。

四元数的历史太长，不能在这里完整地介绍，甚至高斯在 1817 年的预测，也不是这个领域的发端；欧拉以一个孤立的结果先于高斯，这个结果用四元数解释最为简单。四元数的起源甚至可以追溯得更远，因为奥古斯塔斯・德・摩根有一次半开玩笑地提出，要为哈密顿把它们的历史从古印度追踪到维多利亚女王时代。不过，我们在这里只需要看看这个发现中的主要部分。

英国学派的代数学家，在 19 世纪上半叶把普通代数建立在它自身的基础上。他们预见到了在谨慎、严格地发展任何数学分支中现时所采用的步骤，在公设上建立了代数。在此之前，当假定所有的代数方程都有根时，进入数学的各种各样的数 —— 分数、负数、无理数 —— 都被允许在与普通正整数同样的基础上起作用。由于习惯，普通正整数是如此之“陈旧”，以致所有的数学家都认为它们是 " 自然的 "。把一个体系建立在数学符号中盲目的、形式上的小把戏上，并天真地相信它的自洽性，这似乎有点愚蠢。

这种轻信在形式永恒原理中达到顶点，这个原理实际上是说，一组对于一类数 —— 比如说正整数 —— 产生一致性结果的规则，当应用到任何其他类型的数 —— 比如说虚数 —— 时，甚至当结果还没有明确的解释时，也会继续产生一致性。信任无意义的符号的完美常常会导致荒谬。

在这一点上必须牢记，代数只讨论有限过程，当无穷过程进入时，例如当无穷级数求和时，我们就越出代数，而进入了另一个领域。强调这一点是因为通常的初等教科书标明的“代数”，包含许多并非现代意义上的代数的东西 —— 例如，无穷几何级数。

哈密顿在创造四元数中所做的事情的性质，在普通代数的一组公设背景下，表现得更为清楚。

一个域 F 是由元素为 a，b，c，… 的一个集合 S 和两个运算组成的系统，这两个运算称为加法和乘法，可以实施到 S 的任意两个元素 a 和 b 上，按照这样的顺序，产生了 S 的唯一确定的元素

使得公设 I—V 得以满足。为简单起见，我们写 a+b 和 ab 分别代替上图的结果，分别称它们为 a 和 b 的和与积。此外，称 S 的元素为 F 的元素。

I.如果 a 和 b 是 F 的任意两个元素，那么 a+b 和 ab 是 F 的唯一确定的元素，并且

Ⅱ.如果 a，b，c 是 F 的任意三个元素，则

Ⅲ.F 中存在两个不同的元素，记为 0 和 1，使得如果 a 是 F 的任意元素，那么 a+0=a，a1=a。

Ⅳ.不论 F 的元素 a 是什么，总存在 F 中的一个元素 x，使得 a+x=0 。

V.不论 F 的元素 a（不为零）是什么，总存在 F 中的一个元素 y，使得 ay=1。

整个普通代数就是由这些简单的公设推导出来的。这样一组公设可以认为是经验的浓缩。许多世纪以来人们运用数学并根据算术定律得到有用的结果 —— 凭经验得到，这种做法启发了包含在这些精确的公设中的大多数定律，但是一旦懂得了经验的启发，由经验提供的（这里是普通算术的）解释就故意被隐瞒或忘记了。由公设定义的系统是由普通逻辑加上数学的机智，在它自己的价值上抽象地发展起来的。

如果像通常那样，i 表示根号-1，那么一个“复数”是一个 α+bi 类型的数，其中 a，b 是“实数”。哈密顿不是把 α+bi 看作一个“数”，而是把它想象为“数”的一个有序偶，他把这个数偶记为（a，b）。处理复数的这种新方法的一个优点在于：数偶的和与积的定义被看作是一个域中的和与积的一般的抽象定义的例子。因此，如果对于一个域的公设所定义的系统的一致性得到证明，那么无需进一步的证明，就可对复数和它们据以结合的通常规则得出类似的结论。哈密顿把复数考虑为数偶（a，b），（c，d）等等的理论中只需要给出和与积的定义就够了。

（a，b）与（c，d）的和是（a＋c，b＋d）；积是（ac-bd，ad＋bc）。域中的 0，1 在这里相应于（0，0），（1，0）。有了这些定义，就很容易证明哈密顿的数偶满足对于一个域所陈述的全部公设，但是它们也符合对于复数运算的形式规则。因此，a＋bi，c＋di 分别相应于（a，b）和（c，d），这两者的形式“和”是（a＋c）＋i（b＋d），相应于数偶（a＋c，b＋d）。再有，a+bi，c+di 的形式乘积产生（ac-bd）+i（ad+bc），它相应于数偶（ac-bd，ad+bc）。

哈密顿用数偶处理复数以后，试图把他的设想扩展到三重数或四重数上，否则，这样的工作就没什么意义了。哈密顿的目的是要发明一种代数，它对三维空间中的旋转就像复数或他的数偶对于二维空间中的旋转所起的作用一样，这两个空间都像是初等几何学中的欧几里得空间。现在，可以认为一个复数 a+bi 表示一个向量，那就是说，一个既有长度又有方向的线段，这在图中是很明显的，有

但是在试图把三维空间中向量的行为符号化，以保持用于物理学、特别是用于旋转系统中的那些向量性质时，哈密顿被一个没有料到的困难阻挡了好些年。很长时间内他甚至没有猜想到这个困难的真正性质。

哈密顿反对对代数进行纯抽象的、公设化的系统阐述，他试图把代数建立在一些“更实在”的基础之上，为了这个毫无意义的事业，他利用了康德的一种被非欧几何的创造所驳倒的错误见解，即将空间看作“一种感觉直觉的纯粹形式”。确实，似乎并不知道非欧几何的哈密顿，追随康德相信“时间和空间是知识的两大源泉，各种各样先验的综合认识都能够由它们得出。在这方面，就我们对空间及其各种各样的关系的认识来说，纯粹数学提供了一个极好的例子。由于它们都是纯形式的感觉直觉，它们反映了综合命题的先验可能 "。

当然，今天任何不是完全无知的数学家都知道，康德的这个数学概念是错误的，但是在 19 世纪 40 年代，当哈密顿在接近四元数的途中时，康德的数学哲学对那些没有听说过罗巴切夫斯基的人（非欧几何创始人）仍然有意义。哈密顿用一个看上去很糟糕的数学双关语的东西，把康德的学说应用于代数，得出了奇怪的结论：由于几何是空间的科学，由于时间和空间是 "直觉的纯感觉形式"，因此数学的其余部分必须属于时间，而且他把自己的大部分时间浪费在推敲一种稀奇古怪的学说，即代数是纯时间的科学上。

哈密顿在试图为三维空间构造一个向量和旋转的代数时所碰到的困难，根源在于他下意识地相信，普通代数最重要的定律必定继续存在于他寻找的代数中。三维空间中的向量是怎样被乘在一起的呢？

为了领悟这个问题的困难，必须牢记普通复数 a+bi 已经用一个平面上的旋转给出了一个简单的解释，还有复数遵守普通代数的所有规则，特别是乘法交换率：如果 A，B 是任意复数，那么 A×B=B×A，不管 A，B 是按代数解释的，还是按平面上的旋转解释的。那么，预测同一种交换律对于表示三维空间中旋转的复数的推广也成立，似乎是合乎常情的。

哈密顿的伟大发现是一种代数，是三维空间中的旋转的 "自然" 代数的一种，交换律在其中不成立。在这个四元数的哈密顿代数中，出现了一种乘法，其中 A×B 不等于 B×A，而是等于负的 B×A，即 A×B=-B×A。

能够舍弃乘法交换律而构造出相容的、实际有用的代数系统，这是一项也许可以同非欧几何思想的形成相媲美的第一流的发现。有一天（1843 年 10 月 16 日），当哈密顿和他的妻子出去散步，走到一座桥上时，他（经过 15 年徒劳的思索之后）突然有了一种醍醐灌顶的感觉，以至于在桥面上刻下了新代数的基本公式。他的伟大发现直到今天仍然指引着代数学家们通往其他代数的道路。实际上数学家们步哈密顿的后尘，通过对域否定一个或更多的公设并发展其结果，而随意创造出各种代数。这些“代数”中有的极其有用；包含这许多代数的一般理论中也包括了哈密顿的伟大发明。

按照哈密顿的四元数，涌现出了过去的两代物理学家们所喜爱的各种向量分析。今天，所有这一切，包括四元数，只要是与物理应用有关的，都被 1915 年与广义相对论一起开始流行的、无比简单且普遍的张量分析撇在一边了。

最后，哈密顿最深刻的悲剧是，他顽固地相信，四元数是解决物质宇宙的数学的关键。历史已经证明，他可悲地欺骗了他自己。从来没有一个伟大的数学家这样毫无希望地错误过。

哈密顿一生的最后 22 年几乎完全致力于对四元数的详细推敲，包括它们对动力学、天文学和光的波动理论的应用。他于 1865 年 9 月 2 日 61 岁时死于痛风。

一个热爱劳动和热爱真理的人。但愿我的墓志铭也如此。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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