磁力可能是保守力吗

正式回答问题之前，先来聊聊场、保守力和保守场的概念。

场（Field）是指某个物理量在空间的分布，这话告诉我们，某个确定的时刻，物理量只与空间坐标有关，不受其他因素影响。

这个物理量可以是标量，还可以是矢量。例如温度的分布就是一种标量场。而某些力的空间分布可形成矢量场。

比如说，单位质量的物体在不同的地方受到的重力 —— 重力加速度，就是一种空间分布，形成一种场，叫重力场。

再比如电场和磁场，它们都是典型的场。

场导致的作用，也就是常说的力，本身也可以形成场，叫力场。条件很简单，只要某时刻，空间任一点的力可表示为 这样的矢量函数就行了。

例如带确定电荷的粒子所受的电场力在空间的分布就形成一种力场。

但带电粒子受到的磁力就不是场，因为它们不仅与空间坐标有关，还与粒子的运动速度（大小和方向）有关，而速度并不一定是空间的函数。

此外，你很容易想到，像摩擦力、向心力和科里奥利力这些力不可能形成力场，因为它们的大小和方向并不是由空间坐标决定的。

那么，什么是保守场呢？

相信大多数人没看到过保守场的定义，但大多数人应该知道什么是保守力，所以就先来讲保守力吧。

什么是保守力？保守力是指做功与路径无关的力，也就是积分 只取决于 a 和 b 的坐标而与具体的积分路径无关的力。

很显然，如果力  本身不是力场，它必定还含有空间之外的变量，这些变量在空间积分后必然保留下来，那结果无论如何也不会只与始末位置有关。

由此可见，保守力的前提是，力必须本身是一种力场。

所以，你若问为什么洛伦兹力不是保守力？则回答是：因为它连力场都算不上！要不然的话，你会感到迷惑，毕竟洛伦兹力做功真的与路径无关 —— 它压根不做功嘛！

那么，保守力的这个定义的实操性有多高？

单纯从定义看，这是一个无法证实的命题，因为你不可能去验证所有可能的路径。当然，如果你发现某两个点之间的不同路径导致不同的功，那就说明它一定不是保守力。

不过，数学还是给我们提供了一种检验方法：当且仅当存在某函数  使力  能被表示为  的梯度时，  就是保守力。

之所以说“某”，不说“某个”，是因为只要存在一个，就存在无数个，它们之间相差任意常数。

所以，证明某个力是保守力的问题转化成为寻找一个函数的问题。

当然，我们知道，由“做功与路径无关”可得到一条推论：对任意闭合路径做功为零。但既然存在无数个闭合路径，这个推论同样无法证实。除非你想用它来证明某个力不是保守力。

可能有人说，只要证明某个力的旋度为零，那么就是保守力。

之所以有人这么说，他们瞧准了这样一个经验：力的旋度处处为零，那么就等于证明了任何地方，力沿一个无限小的闭合路径积分为零，那么它们全部加起来得到的任意闭合路径积分也自然为零！

换句话说，他们认为：旋度处处为零，等于证明了任意闭合路径的积分都为零，那就说明做功真的与路径无关，因此力必然是保守力。

是这样吗？

不一定！

原因是，无限小的闭合路径的积分加起来不一定等于一个包围它们的闭合路径的积分。

如上图所示，用阴影部分代表场的分布区域。

在 L=0 类型的空间中，无数个微小的环路积分的和必定等于包围它们的一个大环的积分。定义在这种区域的力，如果旋度为零，那就是保守力。

但对于 L>0 的情形，由于不满足这一条件，即使力的旋度处处为零，也不一定是保守力。

但反过来，如果是保守力，那么它的力场的旋度必然处处为零，所以旋度处处为零是保守力的必要而非充分条件。

好，讲完保守力了，再回头看保守场。

它的定义完全与保守力类似，即：

积分与路径无关的矢量场。

注意限定词 ——“矢量场”。保守力中未提这一点，因为力本身是矢量。

同理，这个定义也没有实操性。但同样的，若能找到某标量函数  ，使得它的梯度（确切的说是负梯度）是该矢量场，那就证实它是保守场了。

又同理，证实某个场是非保守场的办法不少。

既可比较场在两点间不同路径的积分，若不同，则为非保守场。

还可检验场在某个闭合路径的积分，若不为零，则为非保守场。

熟悉的例子，静电场  总是负电势函数的梯度，所以它是保守场。

而磁感应强度  就不是保守场，因为 B 线总是闭合的，只要沿着某条 B 线积分，它肯定不为零。

重点问题来了：保守场与保守力之间有啥关系呢？

只有保守场才可以导致保守力？非保守场必定导致非保守力？

很多人这么认为，但其实不一定。

非保守场也会导致保守力，保守场与保守力之间没有必然联系。

典型的案例是磁矩在磁场中的受力。

在文章“磁力真的能无限做功？它的能量源自何处？”中，采用了一个简单的方式给出磁矩受力的规律 由于文中是直接从力矩切换到力，可能有人觉得不好理解。毕竟做功的本来是力矩， 文中后面直接变为 然后从中抽出力的结果，过程的确有点不太爽滑，但结果本身没有问题。

有人质疑的理由是：磁矩是一个电流环，所以本身受力应有无数个，力矩是这些力的总体效果，你现在直接用一个力代替，好像说不通。

看起来好像挺有道理的吧？但其实这是一个误解，磁矩难道不是一个点嘛！

没错，其实磁矩和点电荷模型一样，同样是一个点模型，下面就是一个磁矩的场分布情况。既然是点，它受力当然是唯一确定的。

实际上，当严格计算空间一点的电流密度与磁场的作用力时，也会得到此结果，只不过过程就复杂很多。随便一本电动力学教材中有关静磁场能的部分都有详细计算过程。

计算结果表明，磁矩受力是一个标量函数的梯度，它是保守力。

总之，磁感应强度  虽然本身不是保守场，但神奇的是，它对磁矩的作用力却居然是保守力。

再例如，当空间中没有传导电流时，电场、磁场和磁激化矢量的关系为

显然，此时的  既然无旋度，实际上它的场线不是闭合的，可以看作一种保守场，磁标势正是基于此提出的。

但对磁感应强度  来说，它总是闭合的，如上图所示。显然，在磁铁内部和外部各处，由于不存在电流密度，故磁感应强度的旋度处处为零。但既然它的环路积分依然存在，说明在磁铁的表面上存在旋度不为零的点，对应一种电流密度，它就是磁化电流。

因为磁感应强度  总离不开运动的电荷或电流，电流有多种，包括自由电流、磁化电流以及极化电流（一般书上没讲）和位移电流，根据安培环路定理，这决定了磁感应强度必然是闭合曲线，所以它没有源，其散度永远为零。 

它也就是麦克斯韦方程组中最简单的那一个。

对磁场强度  来说，它也可通过运动电荷或电流来激发。其中电流激发的那部分可分为两种不同的类型，第一种是自由电流激发，第二种是其它的电流激发的。这第二种磁场可等效看作磁荷激发的，它是一种有源场，当然就是保守场了。

因此，当没有自由电流时 —— 例如各种磁介质的空间中，磁场强度就类似于静电场一样，所用的规律也完全一样。只不过由于磁单极子还没有被发现，所以这种描述一般只是一种等价的理论处理方式。

讲到此处，你现在大概明白了，磁铁之间的吸引力和排斥力作用，如果从磁场强度的角度来看，它类似一种保守场的作用，它所做的功来源于系统的势能，而势能必然是有限的。所以磁力做功必然也是有限的。

所以，你现在大概也明白了，  的名字为什么与电场强度类似，也叫做“X 场强度”？除了历史原因，还因为它俩真就是地位相当的物理量。

而至于  ，其实从数学结构上来说，它与电场中的电位移矢量  的地位相当，所以它的名字就没那么直接了，而是叫做“磁感应强度”。

不过，话说回来，从物理本质上来说，  和  才是基本的物理量。具有实际可观测的物理效应。历史上命名的确存在一定的不合理，但不合理总有原因的，不改过来也是有原因的，存在即是合理嘛！

除  和  之外，为了数学上的方便，人们引入了矢势  和标势  来描述电磁场。后来发现，矢势  和标势  具有可观测的量子效应，所以矢势  和标势  也成为描述场不可缺少的基本物理量。它们满足规范变换，这是基本相互作用中的一条普遍规律。

本文来自微信公众号：大学物理学 （ID：wuliboke），作者：薛德堡

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