最牛的数学博士论文 — 纳什的“非合作博弈”，奠定了博弈论的基础

小约翰・福布斯・纳什（John Forbes Nash Jr），美国数学家，对博弈论、实代数几何、微分几何和偏微分方程做出了基础性贡献。纳什和他的同事被授予 1994 年诺贝尔经济学奖。2015 年，他因在偏微分方程领域的贡献而被授予阿贝尔奖。

作为普林斯顿大学数学系的研究生，纳什提出了许多概念（包括纳什均衡和纳什议价解决方案），这些概念现在被认为是博弈论及其在各种科学中的应用的核心。20 世纪 50 年代，纳什通过求解黎曼几何中的非线性偏微分方程组，发现并证明了纳什嵌入定理。这项工作还介绍了纳什-莫泽定理的初步形式，后来被美国数学会认可，并获得了 Leroy P. Steele 奖，以表彰对研究的开创性贡献。此外，纳什还用不同的方法发现了一系列结果，为系统地理解椭圆型和抛物型偏微分方程铺平了道路。

他的一生在 2001 年的获奖传记电影《美丽心灵》中被完美地演绎了。这部电影着重讲述了纳什的一生，从他早年在普林斯顿大学作为一名聪明但古怪的学生，到他在数学和博弈论方面的开创性工作，再到他与精神分裂症的斗争。

也许拥有美丽的头脑是件好事，但更伟大的礼物是发现一颗美丽的心 —— 约翰・纳什

早期生活和教育

据他的传记作者西尔维亚・纳萨说，纳什不是一个传统的好学生，他并不喜欢上课。他被认为是一个不喜欢与同龄人交往的“独行侠”。他在课堂上有一种心不在焉的倾向，经常花时间思考数学问题或做自己的研究。

纳什非常喜欢读书，埃里克・坦普尔・贝尔的《数学家》一书最初影响了他，激发了他对数学的兴趣。1948 年，他开始在卡内基理工学院（后来被命名为卡内基梅隆大学）学习，在那里他进入了化学工程专业。然而，在学习了张量微积分和相对论等几门课程后，他很快对数学产生了兴趣，并转学数学，并于 1949 年毕业。

纳什随后继续在普林斯顿大学攻读数学研究生。达芬写了一封简短但非常有力的推荐信，作为他申请普林斯顿大学的一部分，这封信后来变得很出名，他说：

纳什先生十九岁了，是个数学天才！

纳什在学业上进步很快，1950 年，21 岁的他获得了博士学位。他的论文“非合作博弈”，由阿尔伯特・w・塔克指导，为博弈论领域奠定了基础。博弈论是经济学和数学研究中最重要的领域之一。

博士论文

纳什的论文相对较短，总共有 26 页。然而，它以其简洁和它所包含的强大思想而闻名。他的论文值得注意的一个方面是，它只有两次引用，其中之一是约翰・冯・诺伊曼的书《博弈论与经济行为》，该书出版于 1944 年。纳什深受冯・诺依曼那本革命性著作的影响，所以他的论文是基于那本书中介绍的概念。另一个引用是他自己的一篇论文《n 人博弈中的平衡点》

纳什的论文尽管具有开创性的思想，但只有两次引用，这无疑证明了他的独创性和独立思考能力。

在他的论文中，约翰・纳什提出了“纳什均衡”的概念，作为分析非合作博弈的一种方法，在这种博弈中，玩家不能达成有约束力的协议。纳什均衡是指游戏中的每个参与者都选择了一种策略，即没有人会因改变策略而受益，而其他参与者则保持策略不变。

他还在论文中引入了“混合策略”的概念，即玩家在具有一定概率的不同策略之间随机选择。这使得我们能够分析玩家可能对其他玩家的行为做出多种最佳反应的情况。他的论文还探讨了“合作博弈”的概念，在这种游戏中，玩家可以达成有约束力的协议并形成联盟。他提出了合作谈判的概念，作为在联盟中的参与者之间分配合作博弈收益的一种方式。纳什议价解的概念被广泛应用于劳动经济学、政治学、国际关系等各个领域，用于分析联盟的形成与解散以及不同群体之间的资源分配。

纳什在 20 世纪 50 年代末被诊断出患有精神分裂症，其特征是幻觉、妄想、思维紊乱和日常生活功能下降等症状。他与病魔抗争多年，无法拥有一份稳定的工作，也难以维持人际关系。然而，几十年后，在 20 世纪 90 年代，在药物和治疗的帮助下，他能够控制自己的症状，最终重返数学工作。

他说，

如果我不能在工作中创造出好的东西，我就不会认为自己康复了。

纳什的论文不仅因其纳什均衡的概念而闻名，而且因其严谨性和复杂性而引起了数学界的广泛关注。他对拓扑学和不动点定理等先进数学概念的使用是超前的，为未来的博弈论制定了高标准。

因此，他获得了许多著名的学术职位和研究机会，包括兰德公司的奖学金和麻省理工学院的教授职位。

纳什均衡 n 元组的概念可能是非合作博弈论中最重要的概念。无论我们是在分析候选人的选举策略、战争的原因、立法机构对议程的操纵，还是利益集团的行动，对事件的预测都归结为对均衡的寻找和描述。简而言之，均衡策略就是我们对人的预测。

不幸的是，他的研究在发表时几乎没有得到什么关注。他说，

尽管我的研究都取得了成功，但最终我觉得，如果我像一个‘正常人’一样思考和行动，我的工作将会得到更好的尊重。

直到上世纪六七十年代后期，他的著作才开始被科学界广泛认可和采用，并被用于各个领域的分析。

2015 年 5 月 23 日，约翰・纳什，在一场车祸中去世，在挪威。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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