百岁数学巨匠陨落！丘成桐视他为师，90 岁依旧研究数学

被誉为“20 世纪最有影响力之一”的数学家卡拉比（Eugenio Calabi）逝世了，享年 100 岁。

他的一生，为人类几何学的进步做出了众多重要贡献。

其中最为著名的，当属卡拉比在 1954 年提出的关于一类特殊流形的猜想 —— 卡拉比猜想。

在 22 年后的 1976 年，时年 27 岁的丘成桐正是通过证明这一猜想，一举名扬四海。

也因此让丘成桐在 1982 年斩获数学界最高奖菲尔兹奖，成为这一奖项的首位华人得主。

但更为重要的是，正是卡拉比猜想的证实，才有了后来以二人名字命名的卡拉比-丘流形。

在物理学家们的关注之下，卡拉比-丘流形也成为了连接数学和物理的重要桥梁，并为物理学打开了一扇新大门。

简而言之，用物理学家布莱恩・格林（Brian Greene）来说就是：

宇宙的密码，也许就刻在卡拉比-丘空间的几何之中。

甚至直到现在，每年都会有众多数学家、物理学家，发表数千篇文章来探索它的性质。

而这一切故事的开始，都是源自卡拉比当年提出的那个猜想。

因此，很多人在提到卡拉比的时候都会用这样的形容来描述：

富有创造力，具有革命性、原创性的数学家。

现如今，这位数学界的巨星陨落，我们谨以此文来纪念卡拉比传奇且值得敬仰的一生。

为超弦理论打下基础

1923 年，卡拉比出生于意大利米兰的一个家庭，1938 年举家迁往美国。

他本是一位 16 岁就进入 MIT 的天才少年，却在进入校园后足足 7 年才本科毕业。

当然，问题并不是出在卡拉比自身，只是命运和他开了一个小小的玩笑。

1939 年入学的卡拉比，本科生涯是几乎都是在二战时期度过的，前三年都还算顺利。

转折出现在 1943 年，本来快要毕业的卡拉比应征入伍，上学的事情只好推迟了。

这一去便是两年，二战胜利后，卡拉比在退伍军人组织的帮助下终于在 1946 年取得了学士学位。

但天才终究是天才 —— 本科毕业后仅过了一年，卡拉比就在伊利诺伊大学香槟分校获得了数学硕士学位。

硕士毕业后，卡拉比到普林斯顿大学攻读博士学位，导师是美国科学院院士博赫纳（Salomon Bochner）。

读博期间，卡拉比对凯勒流形产生了深厚的兴趣，他的学位论文也与此有关，这为卡拉比猜想的提出埋下了伏笔。

1950 年，卡拉比获得了博士学位，并于次年开启了在路易斯安那州立大学的助理教授生涯。

时间来到 1953 年，卡拉比开始思考一类以前“从未有人想象过的形状”。

直到 1954 年，国际数学大会在阿姆斯特丹举行，正是在这届数学大会上，卡拉比在会议的邀请报告中用一页纸写下了他的著名猜想。

令 M 为紧致的卡勒（Kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式 R，都存在唯一的一个卡勒度量，其 Ricci 形式恰好是 R。

如果从物理学上来描述，这个猜想可以表示为在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场？

卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明思路，并证明如果解存在则必定唯一。

但此后的 20 多年里，这一猜想始终未能得到证明，其间卡拉比先后到了明尼苏达大学和宾夕法尼亚大学任教，并晋升为了教授。

尽管卡拉比在提出猜想的同时给出了证明思路，但在 1957 年，他发现这条路可能走不通。

按照卡拉比的思路，证明过程中需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作 Monge-Ampere 方程。

卡拉比请教了著名数学家魏尔（Andre Weil）教授，结果魏尔也表示自己无能为力。

（实际上，到 2021 年，关于该方程的突破依然是可以发顶刊的水平。）

直到 1970 年，正在伯克利读书的丘成桐在导师 Blaine Lawson 的推荐下认识了卡拉比。

不过卡拉比和丘成桐两人攀谈一番之后，丘成桐认为他的猜想并不成立，此后便开启了 3 年的寻找反例生涯。

1973 年，丘成桐在出席国际几何会议期间将此消息告诉了几位朋友，引发一片哗然，并被邀请进行报告。

会上，丘成桐详细介绍了如何寻找卡拉比猜想的反例，卡拉比本人也参加了报告会。

陈省身在会后对丘成桐说，这个反例或许是本次大会的最佳成果。

卡拉比猜想中涉及的“陈类”便是因陈省身而得名，陈省身的这一评价似乎宣告了卡拉比猜想的结束。

△ 陈省身

但这并没有让卡拉比放弃自己的想法。

两个月之后，卡拉比致信丘成桐，希望他能为自己解释反例中一些没有弄清楚的问题。

看到这封信，丘成桐马上明白，自己出错了。

又经过多次试图举出反例失败后，丘成桐决定调转研究方向 —— 证明卡拉比猜想成立。

这一证明过程花费了丘成桐四年时间，但前三年都试图在寻找 Monge-Ampere 方程的光滑解。

但难度可想而知，最终丘成桐决定变换思路，构造一系列近似解并使其最终收敛于 Monge-Ampere 方程。

最终在 1976 年，丘成桐利用卡勒几何中的曲率的概念成功证明了卡拉比猜想，并将证明过程的复印件寄给了卡拉比。

20 余年的猜测终于尘埃落定，基于这一猜想，卡拉比-丘流形被构建了出来，成为了物理学界超弦理论重要基础。

此后，卡拉比依旧对数学葆有着深厚的热情，直到 90 多岁，他仍继续坚持着进行数学研究。

不过，卡拉比并不是从一开始就决心成为一名数学家。

从化学工程师转行研究数学

卡拉比的父亲是一名律师，还有一个当记者的姐姐。

尽管卡拉比小时候对数学也有浓厚的兴趣，但他在麻省理工学院主修的专业是化学工程。

二战入伍期间，他在法国和德国给美国陆军担任翻译。

回到美国后，他在攻读数学硕士和博士之前曾短暂担任化学工程师。

但从读数学硕士开始，卡拉比对数学的热爱便一直延续到了生命的尽头。

对于自己所喜欢的数学，卡拉比这样描述：

能把自己的爱好当成一种职业，是我一生中非同寻常的幸运

卡拉比非常喜欢与人交流数学问题，和学生谈话可能会持续几个小时。

他的学生陈秀雄回忆说，卡拉比教授总是充当话题开启者的角色。

无论是在收发室还是走廊中，陈秀雄经常被卡拉比“拦下来”讨论数学问题。

每当有灵感时，卡拉比会随手拿来纸张，在信封、餐巾纸等纸片上写下公式。

丘成桐与卡拉比交流时也遇到过这种情景，他还保存了一些当时使用的餐巾纸。

我总是从这些公式中学习，这些公式传达了卡拉比不可思议的几何直觉。

他非常慷慨地分享自己的想法，并不在乎是否能因此获得荣誉。

他只是觉得做数学很有趣。

百岁生日获众多数学家祝贺

在数学界，能够庆祝一位传奇人物百岁生日并不是常见的事情。

上一次出现这种情况还要追溯到 1991 年奥波德・维托里斯（Leopold Vietoris）的百岁寿辰。

因此在今年 5 月 11 日，在卡拉比 100 周岁生日之际，全球众多数学家都道来了祝贺。

从这些祝贺语中，我们其实也可以从侧面看出卡拉比在为人和学术上所散发的光芒。

最值得一提的便是丘成桐了，他在为卡拉比的撰文中这样描述道：

我视陈省身、莫里、尼伦伯格、辛格和卡拉比为师，但思想上与卡拉比最为接近，交流最无拘束。所以每次见到他，都会上天下地，无所不谈。

这二十年来，我们见面时间不多，但是我总惦记着我的老师和朋友卡拉比先生。他一生追求学问，不慕名利，乐于教人，受到同行的尊敬，晚辈的仰望。他的数学成就斐然，早已铭刻在科学史的丰碑上。

宾夕法尼亚大学的杰瑞・卡兹丹（Jerry Kazdan）回忆起他与卡拉比学术交流的过程。

他认为卡拉比所拥有的惊人的对几何的洞察就是自身的天赋，他对什么是重要和有趣的事情有着深刻的直觉，并总是慷慨地分享他的想法：

他经常来到我的办公室，开始在黑板上解释他最近的一些想法。

以至于有时候，碰巧在办公室的本科生会一头雾水地看二人的讨论。

陈秀雄在贺词中则是提到了卡拉比教会他的一种好习惯：

卡拉比教授会让我在下次见面时重复他说的话或我听到的内容，而不参考任何笔记。

正如他所解释的那样，“直到它烙印在你的记忆中，它才会成为你的。”

现在我是这句话的狂热拥护者，我一直把它传授给我自己的学生。

而纵观其他数学家们的贺词，一个非常直观的感受便是，许多人都在回忆他们与卡拉比之间所交流的学术话题，并且给予他们的深刻印象。

由此，足以可见卡拉比在几何学上的充沛且源源不断地热情了。

更难能可贵的是，他不仅是自己在发热，更是将余温散播给了旁人：或是做学术的习惯，或是所散发出来的精神力量，都在鼓舞激励着“后浪们”。

R.I.P

参考链接：

• [1]https://www.quantamagazine.org/the-mathematician-who-shaped-string-theory-20231016/

• [2]https://euromathsoc.org/magazine/articles/144#S0.SS0.SSSx9

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