撰文|陈景灵南开大学陈省身数学所教授
一、引言
经典理论和量子理论毫无疑问是人类智慧的结晶。牛顿力学是以牛顿运动定律和万有引力定律为基础，研究速度远小于光速的宏观物体的运动规律。从本质上讲，牛顿力学是一种超距作用的物理理论。在一个有相互作用的多体系统中，一个质点的变化可以瞬间影响整个系统。再比如，牛顿力学允许刚体的存在，如果我们对质心施加作用，则刚体所有的点都会立即随着质点运动的变化而变化。到了十九世纪，麦克斯韦的电磁理论首次预言电磁波的存在，并且以光速的有限速度传播。这随后促使爱因斯坦把相互作用的定域性作为一个基本前提，在其相继提出的狭义和广义相对论中占有重要的位置。相对论的巨大成功让人们相信，定域性是一切相互作用应当遵守的法则。
然而量子力学的结果让人颇感意外。贝尔指出，所有的定域理论都有一个界限，即贝尔不等式，而量子力学可以突破这个界限。这意味着由量子力学描述的世界是非定域的。很长一段时间人们对非定域性这个概念很不适应。受到相对论中定域性的影响，量子力学的这种非定域性似乎意味着超距作用的可能，那么物理理论就又回到了牛顿力学的范畴。但事实并非如此。与牛顿力学不同，量子力学具有概率论的特点。量子力学中的联合概率满足无信号条件，而无信号条件刻画了空间中相距一定距离的两点是否存在相互作用。实际上，量子力学中的非定域性本质上是一种关联，它与超距作用是完全不同的概念。我们可以看到，现有的量子隐形传态等量子信息技术方案都需要经典通讯的帮助，无法实现信号的超光速传递。量子力学的科学研究有一个显著的特点，就是它通常要和经典理论进行比较以达到深入地理解。或者说，在一定程度意义上，量子力学的研究脱离不开与经典力学的对比。在对经典和量子理论的不断对照和思索中，人们涌现出了许许多多的疑问：大自然为何允许存在这种非定域关联？是怎样的一种机制使得非定域性与因果律不相矛盾？我们周围的这个世界甚至包括人类自己到底是客观性的还是主观性的，是确定性的还是概率性的？等等。这些问题的解答将会对物理理论以及整个科学的发展带来积极的促进作用。
自从量子力学的奠基者以其深邃的洞察力提出“薛定谔猫态”和“EPR佯谬”以来，对于量子非定域性（Quantum Nonlocality）的研究一直是探索量子力学基本问题的热点课题。量子非定域性是量子力学区别于经典力学的本质特性，是量子信息和量子计算的基础，并具有极其深刻的物理意义。自从量子力学的诞生开始，人们对量子非定域性的理论研究与实验探测一直没有停息。2007年，Wiseman，Jones和Doherty对量子非定域性进行重新审视，他们把它仔细划分为三种类型：量子纠缠（Quantum Entanglement）、量子导引（Quantum Steering）和贝尔非定域性（Bell Nonlocality）。量子纠缠和量子导引的基本概念起源于1935年爱因斯坦、波多尔斯基和罗森（简称为EPR）的著名论文以及量子力学奠基人之一薛定谔对EPR论文的反应。而贝尔非定域性则来源于1964年贝尔对于EPR佯谬的思考。1989年德国物理学家Werner首次给出量子纠缠的严格数学定义。2007年Wiseman等人首次给出量子导引的严格数学定义，并指出贝尔非定域性是自然界最强类型的非定域性，而量子导引是一种严格介于量子纠缠和贝尔非定域性之间的新型非定域性。
研究贝尔非定域性的手段主要有贝尔不等式和无不等式方法（比如GHZ定理和Hardy定理）。贝尔不等式被称为“科学中意义最深远的发现”（The most profound discovery in science），量子纠缠态对于不等式的破坏意味着此量子态的非定域性；而一个物理系统或状态若被证明有GHZ定理则说明此物理系统或状态具有贝尔非定域性。量子非定域性被认为是量子力学的核心性质之一，同时它亦是量子信息学中的核心问题。同时通过与信息论的交叉融合，形成了量子信息学，亦为量子力学提供了一个全新的视点和生长点，对它的深入研究也极大地深化了量子理论本身，并开拓了量子力学应用的新天地。通过利用量子力学中的基本原理和基本概念来实现信息的处理，量子信息学取得了革命性发展。目前，量子非定域性的物理含义已逐步被发掘出来并广泛地应用于量子信息学各个领域，诸如量子密码、量子计算、量子通讯、量子模拟、量子隐形传态和真正随机数生成等。许多突破性成果已经获得，与此同时还有许多激动人心的方向亟待着人们去探索和发现。
二、贝尔不等式
1935年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森发表了题为“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete？”的论文。在论文中他们提出，实在性是物质独立于任何理论的属性；一种理论是否完备取决于每一个物理实在元素都可以在这个理论中找到对应的描述，即理论中定义的各种物理量。实在性意味着这些物理量有确定的大小。然而我们知道，在量子力学中一个粒子的位置和动量不可能同时确定。EPR通过定域性假设和实在性假设，运用量子力学中的纠缠态得到一个EPR佯谬。根据EPR佯谬，爱因斯坦等人认为如果定域实在论是正确的，那么依赖波函数去描述一个系统的量子力学理论将是不完备的。在相对论中，相互作用的传播速度不能超过光速，因此类空间隔的两个事件不会互相影响，这就是定域性。定域性假设是指A粒子的测量结果只与对A的测量方式有关，与B粒子的测量结果和方式无关。衡量定域性的必要条件就是量子测量结果的联合概率要满足所谓的无信号条件（No-Signaling Condition）。
然而，定域实在论会是正确的吗？基于对EPR佯谬的思索，1964年贝尔以不等式的形式提出了贝尔定理的基本思想：任何定域实在论都与量子力学理论不相容。贝尔不等式的问世使得量子纠缠态的非定域性第一次可以通过物理实验进行验证，从而使得原来只能停留在哲学层面上的爱因斯坦--玻尔之争变成一个可以从实验上加以定量检验的问题。在量子信息中，我们称一个二能级系统为量子比特（Qubit），其物理载体可以是一个自旋1/2粒子，或者一个偏振光子等。1964年贝尔提出的原始不等式是针对两比特系统（Two-Qubit），但其形式不易于实验检验。随后，1969年Clauser，Horne，Shimony和Holt（CHSH）完善了两比特系统的贝尔不等式，他们提出了更易于实验操作的CHSH不等式。对于定域实在论或者定域隐变量模型（即LHV模型）而言，CHSH不等式的经典上界是2。然而在量子力学中，分别掌握两个比特粒子的观测者Alice和Bob却可以通过选择合适的测量方向使得量子破坏值可以达到2.828，这十分明显地超过了定域实在论所确定的上界。CHSH不等式使得量子纠缠态的贝尔非定域性第一次可以通过物理实验进行验证，并且激发了一大批构思巧妙的实验工作，比如1981年Aspect等人从实验上验证了量子力学对贝尔不等式的违背。从1981年至2015年期间，许多检验贝尔非定域性的贝尔实验陆续涌现，尽管一些定域性漏洞或者探测效率漏洞仍然存在，但这些贝尔实验均证实了量子力学理论预言的正确性。2015年底，终于出现三个实验组的贝尔实验，它们均同时克服了定域性漏洞和探测效率漏洞这一长期困难问题。利用贝尔不等式这一强而有力的工具能够无可争辩地揭示出量子纠缠态的非定域性，显示出量子力学本质区别于基于定域实在理论的经典力学。这说明，不存在定域实在的隐变量理论，定域性和实在性两者有一个是错误的，或者都是错误的。
1969年之后，贝尔不等式理论方面的研究获得极大的推广。为了方便论述，我们称具有d个能级的系统为Qudit（d亦称为系统的维数，当它等于2时对应与Qubit），测量方式称为Setting。所以，N体K-Setting Qudit指的是一个系统中有N个粒子，对每一个粒子有K种测量方式，能够得到d种结果。按照这种说法，著名的CHSH不等式就属于两体两维系统的两Setting贝尔不等式。贝尔不等式理论框架本身的进一步完善、以及量子信息学的进一步发展，比如需要量子调控多粒子纠缠系统，迫切需要人们对贝尔不等式进行推广。贝尔不等式的推广一般沿着三个方向进行：（i）多体，即多粒子系统；（ii）多维，即多能级系统；（iii）多Setting，即每个观测者做多次投影测量方式。目前，比较知名的贝尔不等式有：（i）MABK不等式，WWZB不等式，Hardy不等式，它们都属于N体两维系统的两Setting贝尔不等式；（ii）CGLMP不等式，它属于两体多维系统的两Setting贝尔不等式；（iii）Chained不等式，AS不等式，它们属于两体两维系统的多Setting贝尔不等式，等等。对于上述提到的知名不等式，其提出者在构造过程基本上是靠猜测或反复测试，缺乏系统的办法。2009年，人们发现有一套系统并行之有效的方法来构造贝尔不等式。这套方法是基于贝尔函数的“根”的概念，借助于此方法人们能够重现文献上提出的所有贝尔不等式并且对它们进行有效的分类（比如CHSH不等式和MABK不等式是属于具有两个不同“根”的不等式，而CGLMP不等式是属于具有三个不同“根”的不等式），同时还能够给出一些崭新的贝尔不等式。
贝尔1928年出生于北爱尔兰，逝世于1990年，曾获得诺贝尔奖提名。1998年英国《Physics World》杂志专题报导了贝尔的生平及科学发现，评述说：“量子力学是所有时代里最成功的科学理论。许多伟大的名字与量子理论联系在一起。海森堡与薛定谔建立了理论的数学形式，爱因斯坦和玻尔分析了其许多重要的特性。尽管如此，还是贝尔对理论的考察最深刻，他建立的理论能够告诉我们物质世界最基础的本质”。由于贝尔的杰出贡献，2009年学术界成立了贝尔奖，用以表彰在量子力学基本问题及其应用方面取得突出成绩的研究者。
三、Leggett不等式与非实在
量子力学具有非定域性。定域实在论无法完全描述量子力学，那么非定域实在论是否就可以描述呢？2003年，诺贝尔奖获得者Leggett提出了一种类型的非定域实在模型。同时他也提出了Leggett不等式，并指出量子力学可以违背这个不等式，从而确定此类非定域实在模型也无法完全描述量子力学。Leggett不等式中的实在性与贝尔不等式的实在性不同，而且没有类似的的定域性条件。因此，Leggett不等式代表了一种非定域实在模型。2007年有四个实验组报道证实了量子力学对Leggett不等式的违背，这就使爱因斯坦意义上的“实在”这一概念受到挑战[参见“Quantum physics says goodbye to reality”，http://physicsworld.com/cws/article /news /27640]。
量子力学可以违背贝尔不等式的实验证实确认了爱因斯坦的定域实在理论不可能完全地描述量子力学的行为，由此说明要么“定域”错了，要么“实在”错了，或者两者都有。一般认为，实在性表现在相应的物理量在测量之前就拥有某个确定的数值，或者说，实在性表现为决定性。实际上，不用决定性假设，人们也可以推出贝尔不等式。因此，实在性不必一定表现为决定性。瑞士物理学家Gisin认为，决定论和实在论是两个不同的概念。实在论指的是，人们对系统的测量方式和测量结果都是可以直接接触到的经典数据，它们可以用经典方式复制、储存、传递，是可以用实数来表示的经典信息。在这个定义的基础上，一个非实在的世界将存在诸多问题。如果测量方式的选取是非实在的，或者说人们不能自由决定每次实验的测量方式，那么就没有真正意义上的随机，这往往意味着科学的终结。如果测量结果是非实在的，人们将遇到“量子测量问题”。有两种解决方式：（i）“多宇宙”解释，但这个解释将违背自由意志；（ii）测量结束的时间比通常设想的要长，即量子测量的输出结果不是瞬时的，而是需要有限长的时间，于是空间相距很远的两处地点就有足够的时间进行低于光速的通信。那么，到底是什么标志着一个量子测量的结束呢？这是一个有趣的问题。
相比之下，我们更加强调世界的非定域性。应该指出的是，通过一种非定域实在模型推出的Leggett不等式，它同样能够被量子力学破坏。结合贝尔不等式的破坏，人们可能会得出“世界是非实在的”这一结论。然而，在Leggett不等式中实在的定义与贝尔不等式稍有不同，而且目前的实验验证只限于光子。对于非零质量的粒子，Leggett不等式是否仍然能够被破坏还不清楚。总之，非实在的可能性还是一个很有争议的问题。
四、Gisin定理
纠缠态是量子力学特有的系统状态。由态叠加原理可知，一个量子系统可以同时处于多个本征态的线性叠加态。对多体系统便出现纠缠态。量子态按纯度分为纯态和混合态；按是否纠缠分为可分离态和不可分离态。不可分离态就是量子纠缠态。对于纯态，如果该量子态不能因式分解成子系统的直积态，那么它就是纠缠的。对于混合态，如果该系统量子态的密度矩阵不能写成子系统密度矩阵直积的凸组合，那么它就是纠缠的。这实际上就是1989年Werner对于量子纠缠态的数学定义。纠缠的程度称为纠缠度，它反映了系统之间的关联程度。纠缠度处于0到1之间，等于1表示最大纠缠；等于0表示不纠缠。一般而言，只有纯态才能达到最大纠缠。两比特的贝尔基，多粒子的GHZ态都是该系统的最大纠缠态。1998年，Wootters（量子不可克隆定理的提出者之一）首次给出两比特系统解析的纠缠度公式。然而，除了两量子比特系统，目前对于其它系统的任意量子态，人们尚未能够找到解析的纠缠度公式。
无论是1964年贝尔的工作、1969年CHSH的工作、还是1981年Aspect的实验，都是专注于研究最大纠缠态对于贝尔不等式的破坏。而在上个世纪八十年代，“非最大纠缠态是否也具有贝尔非定域性”或者“量子纠缠与贝尔非定域性之间关系”的研究课题还没有提上日程。德国物理学家Werner是第一个关注这个课题的研究者，但他不是从贝尔不等式的角度而是从定域隐变量模型的数学定义本身出发来研究这个课题。定域隐变量模型在玻姆的工作及贝尔的工作中已有明确的数学定义。按照定义，一个量子态如果不具有定域隐变量模型的描述就意味着其具有贝尔非定域性。1989年，Werner首次给出量子纠缠严格数学定义的同时，他还通过构造Werner态来分析指出量子纠缠与贝尔非定域性是两个不同的概念，因为存在一些量子纠缠态，它们永远可以具有定域隐变量模型的描述。
一般而言贝尔非定域性是量子纠缠的子集，即存在一些量子态，它们虽然是纠缠的，但不具有贝尔非定域性。
1991年，在一个2-Qubit系统中，Gisin利用CHSH不等式解析地证明了一个定理：任意2-Qubit纠缠纯态都违背贝尔不等式。这个定理被称为Gisin定理，它表明：对于任意2-Qubit纯态，量子纠缠与贝尔非定域性等价。但这个定理的结论并不是显然的，因为1990年当Gisin和贝尔面对面讨论起量子纠缠与贝尔非定域性的等价关系课题时，贝尔本人并不知道这个结论。1992年Gisin和Peres随后发现Gisin定理也适用于任意2-Qudit系统（即两体d能级系统）的纯态，他们的证明方法是先把多维自由度投影到两维空间，然后仍使用CHSH不等式。于是对于两体任意纯态情形，Gisin定理普遍成立。Gisin定理表明，不仅最大纠缠态具有贝尔非定域性，而且所有的两体纠缠纯态都具有贝尔非定域性。Gisin定理因而把非定域性置于物理学的核心。Gisin的工作发表之后，非定域性的研究及其应用获得迅速地发展，比如1991年Ekert提出基于贝尔定理的量子密码，其中密码的安全性由贝尔不等式的违背来保证；1993年Bennett等人提出利用贝尔基进行远程的量子隐形传态等。
量子纠缠和贝尔非定域性之间究竟是怎样的关系？简而言之，Werner把量子纠缠和贝尔非定域性两个基本概念区别开来。Gisin则指出，在纯态这样的条件下，两体系统的量子纠缠等价于贝尔非定域性。就在Gisin定理的建立前后，Mermin，Ardehali，Belinskii和Klyshko等人把2-Qubit CHSH不等式推广到任意N个Qubit的贝尔不等式（即MABK不等式）。但是，在2001年Scarani和Gisin却发现在三粒子和多粒子系统中并不是所有N-Qubit纠缠纯态都违背MABK不等式，即MABK不等式被证明不满足Gisin定理。2001年Werner，Wolf和2012年Zukowski，Brukner分别建立了关于N-Qubit系统更广的贝尔不等式（即WWZB不等式，MABK不等式是它的特殊情形）。他们发现虽然WWZB不等式比MABK不等式能探测更多一些纠缠纯态，但仍然不满足Gisin定理。由此人们转而认为两体以上的量子系统一般不存在Gisin定理。但是，到了2004年，三粒子系统纯态情形的Gisin定理首次获得了证明和推广，并且2012年Yu等人又进一步把纯态情形的Gisin定理彻底地推广到了任意多粒子系统。2015年混合态情形的Gisin定理首次被提出，并且发现其可以应用于量子身份验证方案。
Gisin定理除了在量子信息学具有纠缠判据等意义之外，它对于量子力学多体问题本身还具有如下重要意义：在低温情况下，一个量子多体自旋系统哈密顿量（比如Ising模型，Kitaev模型等）的基态是一个纯态，由于系统的强关联性此纯态一般是一个纠缠纯态，依据Gisin定理此物理系统的基态将破坏贝尔不等式因而具有量子非定域性。这个事实从另一个侧面反映了Kitaev模型等物理系统为什么能用于做量子计算的原因之一（此外还存在一些基于量子失协的量子计算方案，其中使用了非纠缠的量子态但仍具有非经典关联性质）。此外，2002年Collins，Gisin，Linden，Massar和Popescu提出2-Qudit系统的贝尔不等式，即CGLMP不等式，它是CHSH不等式的高维自然推广。该不等式可以用来证明2-Qudit任意纯态的Gisin定理。然而有些奇怪的是，对CGLMP不等式违背最大的态并非最大纠缠态，而且目前这种奇怪的现象尚缺乏合理的物理解释。这从另一个侧面反映出量子纠缠和贝尔非定域性是两个截然不同的概念。量子纠缠与贝尔非定域性之间的准确界限目前还没有完全弄清楚。比如，我们考虑2-Qubit Werner态，它是最大纠缠态与最大混合态的凸组合，其中使用参数V来表示最大纠缠态在Werner态中所占的权重。由纠缠度计算公式容易得知，V为1/3是纠缠态与可分离态之间的临界点。但是如何界定量子纠缠与贝尔非定域性之间的临界值尚未清楚。人们猜测这个该临界值和一个被称为Grothendieck数的数学常数有关，其约等于0.66。
五、GHZ定理
从定域实在隐变量理论出发得到的贝尔不等式能够被量子力学破坏。贝尔不等式是通过对隐变量做统计平均，从而得到实验上可以验证的形式：关联函数。实际上，还存在另外一种方案，即从量子力学出发，然后验证相应的结论能否用定域实在论解释，从而比较量子理论和经典理论的异同。其中，GHZ定理因为其直观的物理图景，得到了众多的关注和研究。
1989年Greenberger，Horne和Zeilinger（GHZ）通过分析3-Qubit系统的最大纠缠态提出了GHZ定理：对于GHZ态，存在一组互相对易的力学量，对这组力学量的测量，量子力学将给出与定域实在理论不相容的测量结果。GHZ定理是首个研究贝尔非定域性的无不等式方法，其又被称为GHZ佯谬，因为在该佯谬中，量子力学给出了“+1”“的结果，而经典理论给出“-1”的结果。这个“1=-1”的矛盾论证说明，不存在经典的定域实在模型能够描述量子力学的结果。贝尔不等式与GHZ定理分别从不同的角度揭示出了贝尔定理。前者属于有不等式形式的贝尔定理，后者属于无不等式形式的贝尔定理。贝尔不等式要用到积分平均，因此它是一种统计上的结果。而GHZ定理对量子纠缠态的非定域性是从非统计的角度来揭示，它显示出了量子力学与定域实在理论的完全背离。2000年，Pan等人利用光子实验方案检验了关于3-Qubit GHZ态的GHZ定理。但是基于光子的GHZ定理实验检验方案其容错性不太强，比如光子的极化方向很难完美地调节到所需的方向，微小的偏差不可避免；另外光子还不可避免地受到环境退相干的影响。因此发展具有容错性强的GHZ定理实验检验方案成为人们的一个重要研究目标。
2010年基于非阿贝尔任意子和对任意子的辫子操作，人们提出了3-Qubit GHZ定理的可容错实验检验方案。非阿贝尔任意子是强关联量子系统中拓扑态
的准粒子激发，由于（i）拓扑态依赖于物理系统的整体拓扑性质而抗局域微扰破坏；（ii）对任意子的辫子操作是离散的幺正变换，一个任意子只能围着另一个转一圈或者不转，没有其他情况，故不会出现传统光子方案中的微小偏差，因此方案是容错性强的，可以弥补以前GHZ定理光子实验检验中探测效率低的漏洞。非阿贝尔任意子的量子非定域性可以选取填充数为12/5的分数量子霍尔液体，通过任意子干涉测量技术来检验。1997年Kitaev提出了一个严格可解的二维格点环面模型，论述了在此模型上实现容错量子计算的可能性。这个模型
和他提出的另外一个蜂巢自旋格点模型是研究拓扑量子计算和拓扑序极其重要的模型，在可容错的拓扑量子计算方面有着重要的应用。Kitaev的环面模型能出现阿贝尔任意子而蜂巢模型能出现非阿贝尔任意子。目前对这两个模型的理论和实验可行方案的研究都非常活跃。传统讨论和证明GHZ定理的方法是一般先给定量子态（例如3-Qubit GHZ态）而不涉及具体物理系统的哈密顿量，对它的实验检验往往依靠多光子纠缠，一旦对多光子态进行了测量，则此光子态即被毁坏。2009年，GHZ定理在Kitaev环面模型中首次得到证明和实现，从而揭示出此模型的贝尔非定域性。此类研究工作是从一个十分具体的哈密顿量模型出发证明了GHZ定理，并且对其基态的测量是非破坏性测量，即完成所有构造GHZ定理所需的网弦算符操作后物理系统的基态保持不变。这是一个十分有趣的结论，提供了研究和检验GHZ定理的新途径。
六、Hardy定理
GHZ定理的逻辑矛盾论证方法很容易推广到三体以上的系统，但它不适用于两体系统。基于此，1993年Hardy提出了2-Qubit系统的Hardy定理，亦称为Hardy佯谬。与GHZ定理类似，Hardy定理是一种重要的研究贝尔非定域性的“无不等式方法”。其重要性被Mermin评论为“最简单形式的贝尔定理”和“量子力学非凡土壤中最奇特和最美的瑰宝之一”。Hardy佯谬的奇特之处在于可以构造出三个几率P1，P2和P3，当要求这三个几率全部为零时，那么按照经典理论（定域隐变量理论）必然导致第四个几率P4为零，然而根据量子理论却可以找到非零的几率P4。P4称为成功几率，对于两比特而言其最大值可达约0.09。尽管这个值很微弱，却显示出量子力学与经典理论的本质不同。随后，两比特Hardy佯谬的预言得到了基于光子实验的验证。两比特Hardy佯谬的一个推广方向是建立任意两体d维系统的Hardy佯谬，2013年人们首次以统一数学形式完成了该项推广工作，并且发现随着维数d的增大Hardy佯谬的成功几率逐渐趋近0.5。两比特Hardy佯谬的另一个推广方向是建立任意N-Qubit Hardy佯
谬。2004年Cereceda首次给出N-Qubit Hardy佯谬的一种推广，并指出该佯谬最大的成功几率能够达到1/8，并于三粒子最大纠缠态处获得。基于该佯谬，Cereceda同时推导出N-Qubit Hardy不等式，两比特Hardy不等式恰好等价于CHSH不等式。2012年Yu等人正是利用N-Qubit Hardy不等式彻底解析证明了任意N体纯态情形的Gisin定理。2018年，人们建立了N-Qubit Hardy佯谬最一般的框架理论，而Cereceda版本的Hardy佯谬只是其中的一个特例。依据更一般的Hardy佯谬，其最大成功几率能够达到1/4，并于3-Qubit最大纠缠态处获得，该结果易于进行实验检验。
Hardy佯谬给人们提供了许多启示。其中一条重要的启示是：逻辑的推理是否永远无懈可击？或者说逻辑论证的成立是否也有其适用的范围？从逻辑推理的视角，Hardy佯谬可以重新被表述如下：我们把A小于B的几率事件记为P（A<b），那么依据三个零几率事件p（a<b）=“0，”p（b<c）=“0，”p（c<d）=“0，”在经典理论中必然推出第四个几率事件p（a<d）=“”恒等于零。这就比如在日常生活中，假设有四个人a，=“”b，=“”c=“”和d，=“”我们来比较他们的年龄。如果a=“”的年龄大于b，=“”b=“”的年龄大于c，=“”的年龄大于d，=“”那么就能推理出a=“”的年龄不可能小于d，=“”这个推理的逻辑是很十分自然的，似乎是理所当然的。然而根据量子力学理论，总可以找到合适的2-qubit=“”纠缠态以及相应测量方向，使得头三个几率恒为零，但第四个几率却大于零（该成功几率最大值约等于0.09）。成功几率大于零的根源在于量子纠缠，如果使用非纠缠量子态去研究hardy=“”佯谬，那么就会得到与经典理论相同的结论。从一定意义上说，是量子纠缠突破了经典理论中无懈可击的逻辑推理。hardy=“”佯谬的启示让人联想起自由落体运动。亚里斯多德曾经断言重的物体比轻的物体落得快。然而伽利略通过捆绑重物体和轻物体的方式提出了一个矛盾的逻辑论证，从而指出不同质量的物体只能下落一样快。2018年4月，芬兰阿尔托大学和奥地利维也纳大学两个科研团队在《nature》杂志上撰文指出，<=“”p=“”>
他们成功地在几乎肉眼可见的设备中观察到了纠缠现象。在精密测量技术成熟的今天，考虑如下的实验似乎可行并且有意义：设有两个不同质量的粒子，制备两者处于纠缠态，那么在自由落体运动的实验中谁会落得更快一些？若落得一样快，说明自由落体运动具有普适性。若有一方落得快，那么就是量子纠缠以某种方式影响了自由落体运动。鉴于万有引力和库仑力的数学形式相似，亦可以设计实验使用电荷取代质量的角色做电场中的自由落体运动。另一个重要启示涉及许多人心中或许存在的疑问：量子纠缠是否真的存在？人们是否能够摒弃量子纠缠从而发展出强大的新经典理论或超越量子力学的理论，以重新回归昔日经典物理的荣耀和辉煌；抑或这已经不可能，量子力学与经典物理两者只能渐行渐远。无论如何，Hardy佯谬为我们提供了一个从直观上直接感觉量子纠缠存在的简单例子，如果有取代量子力学的理论存在，人们不妨先测试一下是否能够绕开量子力学中的纠缠给予Hardy佯谬一个满意的解释。
七、量子导引
前面介绍了许多量子纠缠和贝尔非定域性相关的课题。现在我们来说说量子导引。量子导引也被称为EPR导引，或者EPR操控，它萌芽于1935年的EPR论文。“导引”（Steering）这个名词是薛定谔于1935年研究EPR论文时明确提出的，并于2007年由于Wiseman等人的工作而重新受到关注。如果从现代的视角重新审视EPR佯谬，就会察觉量子导引实际上是EPR佯谬的核心。EPR佯谬是指：要么量子波函数不能提供对于物理实在的完备描述，要么对纠缠态其中一个粒子的测量会瞬间影响另一个粒子，无论它们相距多远[either the quantum wave function does not provide a complete description of physical reality，or measuring one particle from a quantum entangled pair instantaneously affects the second particleregardless of how far apart the two entangled particles are]。后者就对应于``幽灵般的超距作用“（spooky action at a distance），涉及量子非定域性，其
一直困扰着爱因斯坦。爱因斯坦摒弃后者，从而质疑量子力学是否完备。
在1964年至2006年期间，一个有意思的现象是“量子纠缠”和“贝尔非定域性”无论在理论上还是实验上均获得极大的发展，然而对于“量子导引”课题
的研究却一直停滞不前。其主要原因是量子导引在1935年薛定谔时代只是一个思想性的概念，其在2007年之前一直缺乏严格的数学定义或者可操作性的定义。2007年，Wiseman等人首次给出量子导引的严格数学定义。他们指出量子非定域性可以细致分为三种不同类型：量子纠缠、量子导引和贝尔非定域性，并
具有层级结构。量子导引是一种新型量子非定域性，它严格地介于量子纠缠与贝尔非定域性之间。从非定域性的强弱程度看，贝尔非定域性是最强类型的非定域性，量子导引属于次强类型。从量子态集合的角度看，量子纠缠包含着量子导引，即量子导引是纠缠的子集；量子导引又包含着贝尔非定域性，即贝尔非定域性是量子导引的子集。换句话说，如果一个量子态具有量子导引能力或贝尔非定域性，那么它必须处于纠缠态。
具体地说，量子导引指的是这样一种现象，当Alice与Bob共享一对纠缠的粒子时，量子力学预言Alice可以通过对她手中粒子作不同的测量从而使得Bob手中粒子的波函数立刻塌缩到不同的量子态的系综。这一明显的非定域性来源是：对于同一个物理系统的波函数，按照不同基矢量可以有许多种甚至无穷种不同的展开方式（类似于对于一个空间矢量，它可以在任意不同直角坐标系中展开，而这些直角坐标系可以有无穷多个）。因此Alice对于她手中粒子进行不同基矢量的测量，Bob手中的粒子就被相应导引到不同的量子态。这种非定域性产生的直接效果是：Alice可以导引或直接操控Bob手中的粒子。或者引申一点说，Bob在他的世界里究竟看到了什么[如他手中粒子的状态]，取决于Alice做怎样的测量[如沿着某个方向对她手中粒子做测量]。这种非定域性使得薛定谔明显地感到不安，但他又找不出EPR论文的漏洞，于是他把EPR的论证称为EPR佯谬。量子导引的现象表现出来的正好是：一方的测量能瞬间影响到远处的另一方。这恰好对应于爱因斯坦的痛处。量子导引涉及系统波函数坍缩，它这种奇特性质可以应用于远程量子态制备。波函数塌缩一直是量子力学中一个令人困惑的问题，目前尚未解决。多数研究人员还是认为存在波函数坍缩，只是坍塌的背后机制或动力学行为尚不清楚。
前面提到，量子力学的研究通常要和经典理论进行对比。对于这三种量子非定域性，如果说量子纠缠要和可分离态模型对比，贝尔非定域性要和定域隐变量模型（LHV模型）对比，那么，与量子导引相对比的经典模型被称为定域隐态模型。1935年，尽管不安于非定域性，薛定谔还是觉得Bob手中的粒子实际上具有某一个确定的量子态，尽管Bob本人不知道，因此Alice能非定域地操纵Bob的态只是一个假象，不可能在实验上观测到。这就是所谓的定域隐态模型（Local Hidden State模型，简称为LHS模型）。2007年，Wiseman等人给予了EPR导引一个操作性的定义。从量子信息任务的角度看，在允许经典通讯的情况下，如果Alice能够说服Bob他俩手中的两个粒子处于纠缠态，以及Bob手中的粒子态没有一个定域隐态模型可以描述，则说明Alice具有EPR导引的能力，即Alice能够在不直接接触Bob手中粒子的情况下操控其状态。一个能体现导引能力的量子态称为可导引量子态，人们把这种现象称为“量子导引”，以便和“量子纠缠”以及“贝尔非定域性”相区分开。这种新型的量子非定域性引发了人们的广泛兴趣，随后有许多与EPR操控相关的工作相继出现。
贝尔非定域性的两种传统研究方法可以移植到EPR导引的研究。比如，2010年人们开始发展出EPR导引不等式来判定量子态的导引性质，2013年人们发展“全对无判据”的无不等式方法来理论研究和实验探测量子导引，2016年人们也发现“1=2”这种类似GHZ佯谬的矛盾等式来揭示量子导引。在深入研究贝尔非定域性和量子导引之间的关系过程中，2016年人们发现了一个很有意思的结果：给定量子态Y与量子态X两者满足特定的映射关系，如果量子态X具有量子导引性质，那么量子态Y必然具有贝尔非定域性。这个结论有两方面的意义：（i）在理论方面，从方法论的角度它提供了研究贝尔非定域性的新途径，其有别于两种传统途径，丰富了研究贝尔非定域性的方法；（ii）在实验方面具有一个很大的优点，因为“量子导引”的非定域程度要弱于“贝尔非定域性”，对于它的实验检验不需要满足“定域性假设”这样苛刻的实验条件。因此，实验上通过检验量子态X的量子导引性质来间接地探测量子态Y的贝尔非定域性可以自动绕过了定域性漏洞。在目前现有的量子技术条件下，该实验检验可以在纠缠光子体系、金刚石色心体系等中进行。
最后，与量子纠缠和贝尔非定域性不同，“非对称性”是量子导引所特有的性质。比如说，Alice和Bob分享一个非交换对称量子态，对纠缠而言，如果Alice和Bob纠缠，则Bob也和Alice纠缠（即纠缠是对称的）；但对于量子导引而言，有可能发生Alice能够导引Bob，而Bob不能导引Alice的情形。这就是非对称量子导引现象。“非对称量子导引”或者“单方向量子导引”首次出现于Wiseman等人2007年论文，当时还只是个“开放问题（Open Question）”。2012年Handchen等人首次利用纠缠高斯态首次在连续变量系统来展示非对称量子导引。2014年Bowles等人首次从理论上解析证明在两比特的离散变量系统中确实存在单方向量子导引。2016年中国科技大学实验组和澳大利亚格里菲斯大学实验组同时在离散变量系统中检验了单方向量子导引。非对称量子导引在单向量子密码等量子信息任务方面具有应用前景。
八、真实多体量子非定域性
在多粒子系统的量子非定域性研究中，有一种特殊但又极为重要的情况被人们所关注，那就是真实多体量子非定域性。它包括真实多体纠缠，真实多体量子导引和真实多体贝尔非定域性，此三者从后往前分别为子集合的关系。真实多体纠缠（Genuine Multipartite Entanglement）也被称为全部N体纠缠（Full N-Body Entanglement），顾名思义，它指的是在N粒子系统中任意一个粒子都和其余的N-1个粒子纠缠。如果一个多体量子态不能分成两个不相关的部分，那它就是真实多体纠缠。人们对真实多体纠缠感兴趣的原因之一是由于在量子计算和量子信息中全部纠缠的量子态要比部分纠缠的量子态要高效。
真实多体纠缠的研究课题最早可以追溯到1987年Svetlichny的工作。有些奇特的地方是，Svetlichny所发表的工作要竟然稍早于1989年Werner的工作及1989年GHZ的工作，因为（i）直到1989年Werner才给出量子纠缠的数学定义；（ii）1989年GHZ态才正式出现，但1987年Svetlichny在论文中已经使用了在局域幺正变换下与GHZ态等价的量子态，并指出这类态具有真实多体纠缠和真实多体贝尔非定域性。Svetlichny是一位巴西粒子物理学家，其研究动机主要是考虑当一个粒子衰变成三个粒子时该如何判定衰变后得到的三粒子系统是全部纠缠，而不只是部分粒子之间纠缠。他通过提出的三个自旋1/2粒子的Svetlichny不等式来成功地做到了这一点。实际上，Svetlichny不等式探测的是真实多体贝尔非定域性，由于真实多体贝尔非定域性是真实多体纠缠的子集，因此Svetlichny不等式的违背不仅意味着该多体量子态具有真实多体贝尔非定域性，同时还意味着该量子态具有真实多体纠缠。
贝尔不等式与Svetlichny不等式之间有联系又有区别。通常的贝尔不等式，比如MABK不等式以及Hardy不等式等，它们本身并不能区分量子态是否是全体纠缠还是部分纠缠，原因是这些量子态都有可能违背这些不等式。Svetlichny不等式的独特功能就是它能够把全体纠缠的量子态单独筛选出来。我们可以从信息交流的角度来说出Svetlichny不等式与贝尔不等式之间的区别和联系：打个比方说，给定N个人，把它任意分成两组，一组有M个，另一组有N-M个，对Svetlichny不等式来说，它只要求不同组的人之间不允许有信息交流，但同一组人之间不做要求，即他们可以交流也可以不交流。而对于贝尔不等式来说，就是N个人被分成N组，任何人之间不允许有信息交流。因此，对于Svetlichny不等式而言，若进一步限制同组人之间亦不允许进行交流，那么此时Svetlichny不等式就退化成贝尔不等式。
研究真实多体纠缠大致有两种方法。第一种方法就是真实多体纠缠判据，这些判据本质上是Peres正定部分转置判据（PPT判据）的多粒子推广。但这些判据只判定真实多体纠缠本身，与真实多体贝尔非定域性无关。第二种方法就是多粒子的Svetlichny不等式，其同时判定真实多体贝尔非定域性和真实多体纠缠。2002年有两个研究小组，即Svetlichny本人还有Gisin的日内瓦小组，同时报道了任意N-Qubit的Svetlichny不等式。作为任意N-qubit的Svetlichny不等式物理应用，已有研究工作把它们应用到一维Ising模型以探测系统本征态的全部N体纠缠性质。2010年Svetlichny不等式被推广到任意N-Qudit系统。在实验进展方面，2009年有研究者基于光学实验检验了3-Qubit Svetlichny不等式。目前高维量子态在实验上已经逐渐可以制备和操作，对于多体高维Svetlichny不等式的实验检验值得期待。对于量子导引，2013年He等人研究了连续变量系统的真实多体量子导引并且有相关实验检验。然而，到目前为止，对于离散变量系统还没有出现好的不等式来研究真实多体量子导引。此外，对于量子非定域性和真实多体量子非定域性，人们也开始研究Wigner转动这种相对论效应对它们的影响。
九、动力学非定域性
量子力学破坏贝尔不等式所显示的非定域性是一种关联非定域性（Correlational Quantum Nonlocality，简称为CQNL），它与非定域性关联有关，即与前面提到的贝尔不等式有关。这种非定域性体现在自然界中存在着一种强关联（即纠缠态），如果想要通过经典仪器来模拟这种强关联只有假定存在瞬时通讯才可能实现。另外还存在一种动力学非定域性（Dynamical Quantum Nonlocality，简称为DQNL），于2010年由Popescu提出，其体现在某些可观测量是由全局量而不是由定域性的量而决定的。我们知道，薛定谔方程考虑的是坐标空间中一点x的状态波函数，在这个意义上我们说此状态波函数是定域的。让我们考虑量子力学中的空间平移算符，当它作用在函数F（x）上时将把该函数平移了一段距离L而得到新的函数F（x+L）。在含有势能V（x）的哈密顿量中，考虑该平移算符随时间演化的海森堡方程时，人们就会看到平移算符随时间的演化与空间中两点x和x+L有关，因此它是非定域的。这与经典理论的结果不同，在经典系统中平移算符仍然定域地演化。动力学非定域性的一个熟悉的例子是Aharonov-Bohm效应。在AB效应中，干涉条纹的位置取决于两条路径所构成的闭合回路内的磁通量，尽管在路径上并不存在磁场。在双缝实验中包含条纹位置信息的单粒子空间平移算子的海森堡运动方程是非定域性的，因为运动演化方程中竟然包含了V（x+L）-V（x）这样的非定域项。这个演化方程从经典物理的角度来看是无法解释的，如果把L理解为双缝之间的距离，那么这个演化方程明显地体现了在双缝实验中存在的动力学非定域性。在著名的双缝实验中人们一直困惑的是当电子通过狭缝时它是如何能够感知狭缝的总体开闭情况，从而形成实验所观察到的相应条纹。Popescu的这个演化方程对这一问题的回答是：如果包含条纹信息的物理量是非定域的，那么电子就可以知道狭缝开闭的整体情况。
DQNL和CQNL的一个区别在于前者可以发生在单个粒子（及单个自由度）系统，而后者往往需要利用两个或两个以上的纠缠粒子。CQNL是由希尔伯特空间的性质决定的，因此它是一种纯运动学性质。这一点由描述它的工具Popescu-Rohrlich Box的性质就可以看出来。PR-Box是非时间的，一旦一端作输入操作，立即能得到输出值而不存在任何与另一端的动力学过程。同样PR-Box也不直接包含空间概念，一个PR-Box两端相距的远近是没有度量意义的，唯一的相关要求是两端的输入输出事件是类空的。DQNL中则包含动力学概念，它可以通过某些非定域物理量（比如空间平移算子）的海森堡运动方程明显体现出来。这两种非定域性的研究各有特点。在CQNL的研究中由于它描述的形式化（比如PR-Box描述）以及便于量化（比如通过贝尔表达式的值）使得其研究更容易展开，与之相关的研究成果已构成了量子信息学的重要组成部分。它的不足在于CQNL是纯运动学的性质，无法得出一些更加深刻的动力学结论。与CQNL的研究相反，DQNL的研究与非定域物理量的动力学演化方程相关，它往往基于一些具体的动力学过程（如AB效应或AC效应），而不像PR-Box
那样只是一种抽象的理想装置。因此，DQNL的研究较困难，但其回报也更大---使得人们能得出某些深刻的动力学结论。对DQNL的研究另一个重要意义在于使人们更加深刻地理解量子相干行为和态的叠加。对于DQNL，Popescu认为：“当然这只是一个开端，从某种意义上说，现在的情况使人联想到量子信息理论出现之前人们对贝尔不等式的研究”。
目前只有在单粒子AB效应和AC效应中被指出存在着“动力学量子非定域性”。Popescu描述说“有理由相信在多粒子、存在相互作用或是存在纠缠的情况下，所得动力学量子非定域性的结果将更加有趣”。已有一些文献研究了多粒子AB/AC效应，构造出关联函数来检验量子力学对贝尔不等式的违背。2013年，出现了基于AC效应的验证Leggett不等式的实验方案。贝尔不等式和Leggett不等式都是用关联函数来构造的，对它的量子破坏标志着关联非定域性。这就产生一个很有意思的课题，即可以在具有“动力学量子非定域性”的物理效应的系统中研究“关联量子非定域性”，它表明这两种不同非定域性之间存在着联系，值得进一步研究。
十、讨论
一个很自然的问题是：非定域性的理论只有量子力学一种吗？Popescu和Rohrlich在这方面做了探索。他们从非定域性和因果律出发，构造出一组联合概率，能够比量子力学更大地破坏CHSH不等式。于是，是否存在更高级的非定域性理论，即超量子力学，而量子力学只是它的一个特例呢？为了研究这一问题，PR-Box应运而生。在一个PR-Box中，测量方式和测量结果被分别抽象为输入和输出，而从输入得到输出的机制被忽略掉。这个机制可以是任何经典理论，可以是量子力学，或是迄今尚未发现的其他理论。PR-Box对CHSH不等式的破坏可以到达代数值4，而经典理论是2，量子力学是2.828。多数的看法认为量子力学是描述世界的正确理论，那么量子力学达不到4的原因是什么？这是一个重要而有趣的问题。研究PR-Box以及实现非定域性的最优化提纯方案对于人们更深刻地认识和理解关联量子非定域性具有重要的科学意义。此外，（i）物理系统的量子态在某种条件下（如绝热或非绝热、循环或非循环、幺正或非幺正等）经过一段时间演化之后会产生Berry相和Aharonov-Anandan相等几何相位，可是几何相位究竟能否反映出物理系统的量子非定域性是一个值得探讨的课题；（ii）量子回流现象：自由粒子的概率流应该与它的动量方向相同。然而，量子力学的态叠加原理允许不同本征态的叠加，这将使得在叠加态下的粒子平均动量会出现与概率流相反的情况。量子回流现象与量子力学基本问题领域中的粒子到达时间问题、玻姆力学中的量子势、光学领域中的超振动现象等有关，其是否和量子非定域性有联系，也是个值得探讨的重要问题。
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