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一元三次方程解法的诞生过程,堪比“宫斗剧”

2022-11-25 11:59原点阅读(张远南 张昶)22评

欧洲的代数学,是在卡尔达诺和塔尔塔里亚之间那场著名的论战之后,才有了真正的起步。要弄清这场震动数学界的论战的来龙去脉,我们还得分别讲起。

话说 16 世纪的最初几年,在意大利最古老的波伦亚大学,有一位叫费洛 (Ferlo,1465—1526) 的数学教授,他潜心于研究当时的世界难题 ——— 一元三次方程的公式解。

大家知道,尽管在古代的巴比伦和古代的中国,都已掌握了某些一元二次方程的解法,但一元二次方程的公式解,却是由中亚数学家阿尔・花拉子米 (Al-Khowarizmi,约 783— 约 850) 在 825 年给出的。花拉子米是把方程 x2+ax+b=0 改写为

的形式,从而得出方程的两个根

花拉子米之后,许多数学家曾为探求三次方程解法的奥秘进行过不懈的努力。但在 700 年的时间长河中,除了取得个别方程的特解之外,没有人能获得实质性进展。在严峻的现实面前,有些人却步了,他们怀疑这样的公式解根本不存在。然而费洛却不以为然,依旧执着地追求着。苍天不负有心人,他终于在不惑之年,取得了重大突破。

1505 年,费洛宣布,他本人找到了形如 x3+px=q 的三次方程的一个特别情形的解法。在那个时代,为了能在当时颇为流行的数学竞赛上一放光辉,数学家们都力图保持着自己发现的秘密,所以费洛当时没有公开发表自己的成果是不足为怪的。但是费洛终于没能找到一个得以显露自己才华的机会而抱恨逝去,以至于人们至今还无法完全解开费洛解法之谜。然而,人们似乎确切地知道,费洛曾把自己的方法传授给一个得意门生,威尼斯的佛罗雷都斯。

现在话题转到另外一边。意大利北部的布里西亚,有一个颇有小名气的青年人叫尼克罗・塔尔塔里亚。他原名方塔那,幼年丧父,家境贫寒,还受过九死一生的磨难。伤痛、恐惧和惊吓,留给他一个口齿不灵的毛病。后来他干脆改名为“塔尔塔里亚”,即意大利语“结巴”。

尼克罗・塔尔塔里亚

小塔尔塔里亚天资聪慧,勤奋好学。他研究物理,钻研数学,很快显露出超人的才华。尤其是他发表的一些论文,思路奇特,见地高远,表现了其相当深的数学造诣,从而一时间闻名遐迩。

塔尔塔里亚的自学成才,受到了当时科班出身的一些人的轻视和妒忌。

1530 年,布里西亚的一位数学教师科拉,向塔尔塔里亚提出了两个挑战性问题,想以此难倒对方。这两个问题是:

(1) 求 1 个数,其立方加上平方的 3 倍等于 5。

(2) 求 3 个数,其中第 2 个数比第 1 个数大 2,第 3 个数又比第 2 个数大 2,它们的积为 1000。

这实际是两道求三次方程实根的题,如果设题中的第 1 个数为 x,则第 1 道题的方程是 x3+3x2-5=0,第 2 道题的方程是 x3+6x2+8x-1000=0塔尔塔里亚求出了这两个方程的实根,从而赢得了这场挑战,并为此名声大震。

消息传到波利亚大学。费洛的学生佛罗雷都斯听到,在布里西亚居然也有人会解三次方程,心中感到有点不是滋味。他原以为自己得名师单传,此生此世该是独一无二的,不料半路杀出一个“程咬金”,而且还是一个不登大雅之堂的小人物,怎能使人信服? 于是他们几经协商,终于决定于 1535 年 2 月 22 日,在意大利第二大城米兰,公开举行数学竞赛。双方各出 30 道题,在 2 小时之内决定胜负。

赛期渐近,塔尔塔里亚因自己是自学出山而感到有些紧张。他想,“佛罗雷都斯是费洛的弟子,说不准他会拿解三次方程来为难自己,那么自己要怎样去对付呢?”他又想,“自己已经掌握的一类解法跟费洛的解法相差多远呢?”他苦苦思索着,脑海中的思路不断进行着各种新的组合,这些新的组合终于撞击出灵感的火花。

在临赛前 8 天,塔尔塔里亚终于找到了进一步解三次方程的办法。为此他欣喜若狂,并充分利用剩下的 8 天时间,一面熟悉自己的新方法,一面精心构造了 30 道只有运用新方法才能解出的问题。

1535 年 2 月 22 日,米兰的哥特式大理石教堂内,人头攒动,热闹非凡,大家翘首等待着竞赛的到来。比赛开始了,双方所出的 30 道题都是令人眩目的三次方程问题。但见塔尔塔里亚从容不迫,运笔如飞,在不到 2 小时的时间内,解完了佛罗雷都斯的全部问题。与此同时,佛罗雷都斯提笔拈纸,望题兴叹,以 0∶30 败下阵来!

消息传出,数学界为之震动。在米兰市有一个人坐不住了,他就是当时驰名欧洲的医生卡尔达诺。卡尔达诺不仅医术颇高,而且精于数学,曾发表过不少数学论文,并精心研究过三次方程问题,但无所获。所以当他听到塔尔塔里亚已经掌握三次方程的解法时,满心希望能分享这一成果。

然而当时的塔尔塔里亚已经誉满欧洲,所以并不打算把自己的成果立即发表,而是醉心于完成《几何原本》的巨型译作。对众多的求教者,他一概拒之门外。当过医生的卡尔达诺,熟谙心理学的要领,以勤奋、刻苦、真诚打动塔尔塔里亚,使他似乎见到了自己幼年的影子,从而成了唯一的例外。1539 年,在卡尔达诺的再三恳求下,塔尔塔里亚终于同意把自己的秘诀传授给他,但有一个条件,就是要严守秘密。

然而,卡尔达诺并没有遵守这一诺言。1545 年,他用自己的名字发表了《大法》(ArsMagna,意即伟大的技艺) 一书,书中介绍了不完全三次方程的解法,并写道:

“大约 30 年前,波伦亚的费洛就发现了这一法则,并传授给威尼斯的佛罗雷都斯,后者曾与塔尔塔里亚进行过数学竞赛。塔尔塔里亚也发现了这一方法。在我的恳求下塔尔塔里亚把方法告诉了我,但没有给出证明。借助于此,我找到了若干证法,因其十分困难,现将其叙述如下。”

以上,就是后来人们把三次方程的求根公式,称作卡尔达诺公式的缘由。

卡尔达诺指出,对不完全三次方程

给出了它的解。

顺便要说的是,从完全三次方程 ax3+bx2+cx+d=0,到不完全三次方程,只需施行一个变换 y=x+b / 3a。这实际上只有一步之遥。

《大法》发表第二年,塔尔塔里亚发表了《种种疑问及发明》一文,谴责卡尔达诺背信弃义,并要求在米兰与卡尔达诺公开竞赛,一决雌雄。

然而,到参赛那天,出阵的并非卡尔达诺本人,而是他的天才学生,一位从小当过仆人,因才华出众而被卡尔达诺看中的青年人费拉里 (Ferrari,1522—1565)。此时的费拉里风华正茂,思维敏捷,能言善辩。他不仅掌握了解三次方程的要领,而且已经发现了四次方程的极为巧妙的解法。结结巴巴的塔尔塔里亚,哪是费拉里的对手,自然是不堪一击,狼狈败返!

此后,塔尔塔里亚虽然潜心于代数学的鸿篇巨制,但终因此番挫折,心神俱伤,于 1557 年溘然与世长辞,享年 58 岁。

来源:《给孩子的数学故事书》
作者:张远南 张昶
部分图源于网络版权归原作者所有
编辑:张润昕

本文来自微信公众号:原点阅读 (ID:tupydread),作者:张远南 张昶,编辑:张润昕

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