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熵:克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼和普朗克的故事

2022-12-20 15:50万象经验(Eugene Wang)9评

1854 年,一位名叫鲁道夫・克劳修斯的德国科学家指出,在较低温度下吸收较少的热量等同于在较高温度下吸收更多的热量。因此,他把热量的变化除以温度的值称为“等效值”。

到了 1862 年,克劳修斯发现,一个物体等效值的减少,都需要其他物体等效值的增加。对于闭合系统的任何过程,等效值的总和必须大于或等于零。1865 年,克劳修斯将等效值重新命名为熵,并用其德文首字母 S 表示。

分子运动

回到 1857 年,也就是克劳修斯介绍熵的第一篇论文的三年后,他写了一篇关于温度对分子运动的意义的论文。在这篇论文中,克劳修斯研究了分子的旋转、振动以及线性运动,并发现分子以难以置信的速度运动。例如,0 摄氏度的氢气分子应该以略高于五倍音速的速度移动。

在阅读了克劳修斯的论文后,另一位科学家发表了反对意见:如果分子移动得那么快,为什么柴火的烟雾不会立即充满整个房间?克劳修斯认为这是一个非常有趣的异议,但他并没有否定自己的理论。克劳修斯认为,虽然气体分子运动得非常快,但走的并不是很远,所以柴火的烟雾不会立即充满整个房间。

换句话说,气体中有大量分子朝各个方向运动,但它们很快就被另一个分子反弹并改变方向,所以即使单个气体分子运动非常快,气体本身也扩散得很慢。后来,克劳修斯还提出了分子平均自由程的概念,来表示一个分子在两次碰撞间飞跃的距离。

图源 Pexels

概率与熵

碰巧的是,一位名叫弗雷德里克・格思里的英国科学家是克劳修斯的粉丝,他也会说德语。格思里把克劳修斯的著作翻译成了英文,并于 1859 年 2 月出版。三个月后,一位名叫詹姆斯・克拉克・麦克斯韦的 27 岁苏格兰科学家在给朋友的信中说,克劳修斯的论文启发了他。在 1860 年至 1866 年之间,麦克斯韦发表了一系列他称之为气体动力学理论的文章。与此同时,麦克斯韦还发表了几篇关于电和磁的论文,其结果被称为麦克斯韦方程组。

不过,克劳修斯对麦克斯韦的理论有一些小小的不满。但是,有另一位德国科学家却被麦克斯韦的理论迷住了,他的名字是路德维希・玻尔兹曼。玻尔兹曼翻译了麦克斯韦的论文,并且也发表了自己关于气体理论的论文,三年后他获得了气体动力学理论的博士学位。麦克斯韦和玻尔兹曼在热力学统计方面的工作,产生了麦克斯韦-玻尔兹曼分布方程,它是描述不同气体速度的概率方程。

1872 年玻尔兹曼写道,一个物体的分子确实是如此之多,它们的运动又是如此之快,以至于我们只能感知到它们的平均值,因此热的机械理论问题也是概率论问题。1877 年,玻尔兹曼开始研究概率和熵之间的关系。玻尔兹曼最后写了超过 50 页的包含密集方程的材料,他把分子的能量分解成不同的部分,并预测了最终出现不同情况的概率。将此应用到第二定律中,我们可以用所讨论的条件的概率来确定熵的量。

量子力学与熵

1879 年,普朗克获得了热力学第二定律的博士学位。但普朗克喜欢的是克劳修斯的熵理论,他从来都不喜欢玻尔兹曼的统计理论,他认为熵增加的原理和能量守恒原理一样具有不可改变的有效性,而玻尔兹曼只把熵增加的原理当作概率定律。

与此同时,普朗克转向了一个新的课题。1894 年,威廉・维恩建立了一个方程,用来描述一个黑体的辐射分布。然而,这个定律有一个问题,它在低能量时不起作用。普朗克编造了一个新的方程,它既适用于低频,也适用于高频,并且高频看起来像维恩定律。实验学家们很高兴,但普朗克却心烦意乱:理论家不应该仅仅从实验数据中猜测方程,他们应该从基本思想中推导出方程。

图源 Pixabay

所以在 "绝望" 中经过几周的紧张工作,普朗克转向玻尔兹曼的熵统计方法。玻尔兹曼当时的论文证明的是 S∝logW,而普朗克增加了一个常数 k,简单地假设 S=k logW。它意味着熵有一个绝对值,可以从物质中分子的性质计算出来。尽管不像温度那样容易测量,但对于任何分子排列的物体,熵都有一个确定的值。

分子排列越复杂,物体的熵就越大。普朗克遇到了一个问题:如果能量是连续的,那么它就可以被分成无限多个排列,因此概率将是无限的,熵也将是无限的。因此,普朗克将能量限制在小能量包中,能量等于恒定的 h 乘以频率。这就是量子力学的起源,所以可以说玻尔兹曼熵方程开启了量子革命。

本文来自微信公众号:万象经验 (ID:UR4351),作者:Eugene Wang

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