新年好呀。要说今年大年初一有什么值得庆祝的事，相信热爱物理的你们会脱口而出 ——《流浪地球 2》上映了。我刚刚从电影院出来，确实是一部不错的科幻片。
这里先给不了解故事背景的读者讲讲设定。按照电影制作手记[1]和预告片所展示的故事线：早在 1977 年，就有天文学家根据太阳活动历史记录推测太阳核心聚变加速；2026 年，爆发了超过 G5 等级的太阳风暴，国际开始重视氦闪危机，并逐渐形成乘坐飞船逃离的飞船派和带着地球流浪的地球派；2030 年，地球派方案被采纳，开始建造推动地球的行星发动机；2039 年，刹车时代，通过发动机停止地球自转；2042 年，逐月计划启动；2044 年，太空电梯危机；2058 年，月球坠落危机；2065 年，地球停转，推进发动机点火，进入加速时代；2075 年，木星引力危机；2078 年，太阳氦闪危机。
我们先从整个故事的动机，也就是太阳急速膨胀老化，即将氦闪说起。
我们的太阳正处于青壮年时期，天文上称为主序星阶段。它大约四分之三是氢，四分之一是氦，还含有少量的氧、碳、氖、铁。太阳发光发热的能量来源，主要是它里头的氢在发生聚变，每 4 个氢 1（质子）会聚变成一个氦核，这被称为质子-质子链反应。
太阳的内层高温高压，可以聚变生成氦，而外层环境不够高温高压，氢无法聚变。由于太阳的质量较大，内层生成的氦会被引力困住而出不去，外层的氢又进不到内部。所以，当太阳内层的氢被耗尽，全部变成氦时，内层聚变产生的热能就抵抗不了引力，从而坍缩。
但这并不意味着太阳会缩小，因为坍缩后的内层会变得更热，使外层的氢升温并点燃聚变反应，这一下反而让太阳膨胀上千倍，表面甚至可以达到金星轨道的位置。此时，太阳进入红巨星阶段。红巨星一般会持续 10 亿年。在红巨星的末期，太阳内核温度可高达一亿度，足以点燃氦聚变成碳氧的核反应，这称为氦闪。
所以，按目前的恒星理论，早在氦闪之前，太阳就会膨胀变成红巨星，把地球上的生命烤熟。
按目前的理论估计，太阳能在主序星阶段持续 110 亿年，而今太阳才 50 亿岁，大可不用担心它会膨胀老化。
为了推动地球，人们一共建造了一万两千台行星发动机，其中一万台建在北半球用于推进，两千台建在赤道附近用于转向。这些发动机的高度超过一万米，占地面积约 1 千平方公里，非常巨大。
作为硬核科幻迷，我们在半年前就估算过地球流浪的第一步 ——刹住自转该如何进行了（如何让太阳从西边升起）。我们假设发动机采用的是老航天喜爱的工质推进方案，并假设发动机能把工质以第二宇宙速度 11.2km / s 喷出，然后算算看这需要多大的功率。
按照电影制作手记里规划，人们花了 26 年完成刹车，但原著小说里是花了 42 年才完成的，这里我们采用小说的时间。经过计算[2]，两千台转向发动机需要每秒总共喷出 733.6 亿吨工质，平均功率达到 4.6×1021W。
你可能对这个数没什么概念，我打个比方，这相当于它一秒钟就要消耗 2021 年一整年全球发电量的 45 倍。对照目前的工程技术，这是 2000 亿个三峡发电站的装机容量，或 5750 亿个核裂变电站机组（以目前装机容量最大的柏崎刈羽核电站为计量单位）。但对于太阳来说，这又只不过是它辐射功率的十万分之一。
换算下来，发动机的总推力要达到 8.21×1017N，所以单台发动机的推力要达到 410 亿吨。但是，原著和电影都设定一台发动机的推力是 150 亿吨[1]，保险起见，我建议把这个设定再往上翻两倍。
发动机启动会产生巨量的热，所以在计划伊始，地表温度会上升到七八十摄氏度，两极冰川融化，加上自转停转引起的潮汐，一些临海城市会被淹没。
这么巨大的推力，要从哪里获得能量呢？《流浪地球》假想了一种技术 ——重核聚变，也就是“烧石头”。我们先讲讲什么是核反应。
原子核由质子和中子构成，它们统称为核子。核子结合成原子核会释放能量。在核反应过程中，核子的结合方式会发生改变，这种结合方式重组的过程伴随着能量变化。如果某个核反应吸收能量，那说明初态比末态的能量低，如果核反应释放能量，那说明初态比末态的能量高。
由于核反应中核子数守恒，我们把一个原子核结合时所释放能量除以它的核子数，从而定义出在该核中核子的平均结合能。平均结合能越大，说明核子具有的能量越低，反应活性就越差。而平均结合能越小，核子具有的能量就越高，更容易发生核反应。
从图中可以看出 H1具有的平均结合能最小（因为它只有一个质子，还没有结合），Fe56的平均结合能最大。凡是平均结合能比 Fe56小的原子核，都可以通过核反应向 Fe56靠拢并释放能量。在 Fe56左边的原子核可以通过聚变变成 Fe56，而在右边的原子核可以通过裂变变成 Fe56。
我们刚刚讲了太阳的氢核聚变，从图上也可以看出，氦核还可以继续聚变成碳、氮、氧等等，只不过后续的反应要求的压强和温度更高。
“烧石头”也是类似，石头主要含的氧和硅在极高温和高压下都可以发生聚变并向铁靠拢。但目前人们连轻核聚变都还没掌握。当今正在研究的聚变技术有三代，第一代以氘氚聚变为主，它所需要的温度和压强相对而言较低；第二代是氘和氦 3 融合，第三代是两个氦 3 融合，这两代的反应条件更苛刻。
日月间的引力大概有 2×1020N，所有发动机全功率运行也无法直接抵消这个力，为了消除这个不可控因素，《流浪地球》中设定了逐月计划。
但从预告片我们可以得知，2058 年爆发了月球坠落危机，月球一个不小心没有被推出去，反而是撞向地球了。
这个画面很有意味，红圈是月球相对地球的洛希极限。什么是洛希极限呢？我们以第一部电影举例。
在第一部电影中，地球在借助木星引力弹弓增速时一个不小心没控制好轨迹，即将坠入洛希极限，如果不想办法施加更大的推力逃离，就会被木星引力撕碎，成为木星环的一部分。
这个撕碎的力来源于引力的不均匀。木星对地球的引力是不均匀的，远离木星的部位引力小，靠近木星的部位引力大，这个引力差就会形成引潮力。没错，之所以叫这个名字，正是因为地球上的潮汐是月球对地球引潮力产生的，月升月落就导致了潮起潮落。
引潮力会随着两个天体间的距离减小而增大，距离减小到洛希极限时，引潮力就会大到超过地球自身的引力，从而让地球崩解。对于刚体和流体，洛希极限分别有以下的计算式：
但是电影里有个 bug。地球的平均密度是 5.514g / cm3，而作为气态行星的木星平均密度是 1.326g / cm3，这样算出来的洛希极限小于木星的半径，也就是说，地球在与木星相撞前，都不存在洛希极限的说法。当然，如果是考虑的地球上的流体，比如地球大气，那确实会在相撞前就被木星引力掰扯开来。
回到第二部电影中来，月球的平均密度是 3.340g / cm3，可以算出它对于地球的刚体洛希极限在地球半径的 1.49 倍处。所以电影中月球坠向地球时，月球还没接触到地球就会被引潮力撕碎。
逐月计划最终还是艰难地成功了。人们先在月表安装上千枚核弹，通过相控阵引爆，将产生的冲击波集中往月核，引发了月核聚变。虽然郭帆导演坦言让月球瓦解是一个疯狂的想法，要直接毁掉月球，所需要的核武器至少是当前储量的 10 亿倍[3]。但这个情节让人看到，在全球危难面前，各国终于“放下对历史、当下、未来的执念”，选择了理智的合作方式。
“今人不见古时月，今月曾经照古人”。从此之后，地球踏上了孤独的流浪之旅。
现在所有的准备工作都做好了，是时候脱离太阳系了。那么发动机应该向哪里喷呢？
直觉上来说，既然要逃离太阳，当然是向着太阳喷才对。但问题是，按我们第二节的估算，一万台推进发动机的推力才 4.1×1018N，只能给地球提供 0.7μm / s2的加速度，相比之下，日地间的引力约 3.5×1022N，简直是蚍蜉撼大树。所以直愣愣地推离地球是不太可行的。
更实际的方案是让加速方向沿着地球公转的速度方向，这样才能最大化地获得动能。这里有两点，一是脱离引力束缚不需要速度背向引力源，只要动能足够大以至于超过引力势能，那么只要速度方向不直愣愣地指向引力源，物体就可以挣脱引力。二是，在发动机功率一样的条件下，返喷所获得的动量增量的大小是一样的，这里可以近似理解成地球的速度增量大小恒定。当速度增量方向和原速度方向一致时，获得的动能增量才会最大。
现在的航天技术也是采用这种加速方向来实现从低轨道升到高轨道，大部分情况下，这是最省燃料的变轨方式，也称霍曼转移轨道。
我假想了下地球升轨到木星轨道的过程，如果按第二节计算得到的发动机推力，这个过程至少要花上百年。为了赶上电影的时间线进度，我们先不考虑发动机的推力问题，直接假设每次在近日点点火能为地球产生 3km / s 的增速，那么只需要 3 次变轨就能完成。
之所以只在近日点点火，是因为此处地球速度最大，相同速度增量所增加的机械能最多，也最能抬高远地点。在原著中，因为不知道氦闪什么时候爆发，每次经过近日点时人们都会变得紧张，这被比喻为“宇宙俄罗斯轮盘赌”。
地球在接近木星时会与木星引力产生弹弓作用，获得木星的一部分动量从而加速。这个过程其实就像你在打球时挥舞球拍，如果球的质量相比球拍非常小，那么球最多可获得的增速能达到球拍速度的 2 倍。
地球的质量只有木星的千分之三，可以认为地球就是个被木星拍子击出的轻质小球，因此能从引力弹弓中获得可观的速度增量。
通过木星的引力弹弓，地球正式脱离太阳系的引力束缚，并向新的太阳进发。在《流浪地球》中，人们将距离太阳 4.2 光年的比邻星作为新家园。
想法很美好，但有一个很棘手的问题：比邻星和半人马座 α 星 A（南门二 A）、半人马座 α 星 B（南门二 B）共同构成了三星系统。这个半人马座 α 三星系统，这正是科幻小说《三体》所设定的三体文明的所在地。而三体人之所以要入侵地球，就是因为它们所在的三星系统会在引力作用下做无规则运动，我们曾在《三体开播前，帮三体找找稳定解》介绍过它。当然，目前比邻星离南门二 AB 双星相对较远，按当今的轨道参数推算，还算处于恒纪元。
不过倒是有一个段子：
在流浪地球的路上，人们遇到了三体舰队。
地球人：我们的太阳急速老化，要搬家到比邻星系。
三体人：我们的恒星系统不稳定，要搬家到太阳系。
地球人和三体人面面相觑。
考虑到《流浪地球》成书早于《三体》，估计大刘自己也没想到会有这种巧合。那么有没有更好的选择？目前观测到的离地球第二近的恒星是巴纳德星，距地球 6 光年。它和比邻星一样，也是一颗红矮星，质量约 0.144M☉，表面温度约 3000K。
2018 年 11 月，人们通过视向速度法（多普勒频移法）发现巴纳德星也有一个行星，命名为巴纳德星 b。它的质量超过地球的 3 倍，表面温度约-170℃。
如果把地球泊入巴纳德星 b 以内的轨道，应该也能获得不错的生存环境。这样能避免三星系统混沌的运行方式，但得多流浪 1.8 光年，也就是大概 400 年的时间。
纵观整个流浪地球计划，人们先用 500 年加速至光速的千分之五，再花 1300 年走完全程的三分之二，然后用 700 年减速进入比邻星的引力范围，调整地球航向，使其泊入稳定的公转轨道。整个过程持续 2500 年，跨越 100 代人。
电影中有人质疑它能不能完成，李雪健老师回答道：“我信，我的孩子会信，孩子的孩子也会信”。这种愚公移山的精神，既是刻在传统文化里的基因，在现实生活中也是我们宝贵的精神财富。
参考资料：
[1] 朔方等.流浪地球电影制作手记.人民交通出版社，2019
[2] 牧羊.如何让太阳从西边升起.中科院物理所，2022.10.10
[3] 对话郭帆！时隔 4 年重逢，解密《流浪地球 2》的幕后故事！
本文来自微信公众号：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：牧羊
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