俄美两位同龄天才，影响了 20 世纪数学

本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：丁玖

撰文 | 丁玖（南密西西比大学数学系教授）

1903 年已被历史证明是国际数学界的幸运年，甚至可以稍微夸张地说成是改变二十世纪数学历史进程的一年。那年初的和煦春风给东方的俄罗斯吹生了安德雷・柯尔莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903 年 4 月 25 日-1987 年 10 月 20 日)，而在那年的冬天，匈牙利降生了约翰・冯・诺伊曼（John von Neumann，1903 年 12 月 28 日-1957 年 2 月 8 日）。

柯尔莫哥洛夫这位东方数学王国的彼得大帝和冯・诺伊曼这个西方数学世界的所罗门王，在他们各自学术生涯的鼎盛时期，一个为社会主义阵营之首的苏联开辟数学方向、证明深刻定理、培育将帅人才，一个为统帅资本主义联盟的美国设计电脑模式、破解自然奥秘、埋首国防科技。他们有若干共同的爱好，也有不少相异的特点。他们年轻时都深爱历史，却坚定走向数学家道路；他们都有与生俱来的贵族血液和气质，一个从上到下拥有伐木工人般的健壮体格，另一个却从头到尾以银行家式的肥硕体型著称；他们在世时都没有缺乏营养，一个生来喜欢带学生远足，在大自然中领悟数学，另一个却将锻炼时间送给热闹的家庭派对，喜爱飙车兜风讲笑话；他们都是二十世纪数学史上的巨人，但在给数学家画像的物理学家戴森（Freeman Dyson，1923-2020）笔下，一个可能会被称为翱翔数学天空创造新领域的“飞鸟”，另一个已经被归入深挖数学宝藏解决困难问题的“巨蛙”；二战中他们都为打败轴心国贡献非凡才智，一个为首都免遭德军空中袭击制定最佳方案，另一个致力于为核弹研制出谋划策；他们都是天赋异禀的绝世天才，一个终生打造“满园春色”，为祖国培育无数俊杰，另一个却满足于“一花独放”，鲜花凋谢后却难见后继有人；他们终生超负荷运行各自无以伦比的大脑，一个活到 84 周岁无大遗憾，另一个却比前者少活三十年，离世前壮志未酬。

今年是他们诞生一百二十周年的共同年份。尽管他们有不同的政治信仰，分别全身心服务于彼此冷战过几十年的苏美两国，但是他们作为数学巨人，值得我们同时纪念。百年来，上天没有太慷慨地让人间多出几个像他们那样的科学伟人，然而我们应该追寻他们的足迹，领会他们的心灵，使得一代新人从中获得鞭策与鼓舞。

柯尔莫哥洛夫

美国数学史家贝尔 (Eric Temple Bell，1883-1960) 出版于 1937 年的 Men of Mathematics (一个中译本是《数学大师》)，影响过几代科学家。可惜他写得太早，在书中精心描绘的三十余名大数学家中，他只写到法兰西人庞加莱 (Henri Poincaré，1854-1912) 为止，连只比庞加莱小了八岁的普鲁士人希尔伯特 (David Hilbert，1862-1943) 都没能进他的书。专写庞加莱那章的标题是“The Last Universal Mathematician” (最后一位全能数学家)。如果作者多活十年，并在去世前修订这本巨著，不仅有可能会加上希尔伯特、柯尔莫哥洛夫和冯・诺伊曼这三人，而且或许还会称柯尔莫哥洛夫为“最后一位全能数学家”。

柯尔莫哥洛夫可以被视为二十世纪俄罗斯的庞加莱，但他出生时远非像出身名门望族的后者那么幸运。他的父亲是个农学家，但后来投身推翻沙皇统治的革命，终被圣彼得堡当局流放到外省，1919 年在内战中被杀；他的未婚母亲在生他时又不幸去世。好在痛失双亲陪伴的他没有失去至亲的爱，他随着两个姨妈在富翁外祖父的贵族庄园长大，受到很好的早期教育，进入姨妈维拉的乡村学校念书，在校刊《春燕》上发表了他最早的文学和数学作品。五岁时他就成了这个校刊的“数学编辑”，同年他独自发现了奇数和的规律，并发表在校刊上：1 = 1²，1 + 3 = 2²，1 + 3 + 5 = 3², …。

1910 年，柯尔莫哥洛夫的姨妈正式领养了他，一家定居莫斯科，十年后柯尔莫哥洛夫读完了高中，考入莫斯科大学，同时也在门捷列夫莫斯科化学与技术学院读书。他后来回忆道：“我带着相当的数学知识来到莫斯科大学。我特别了解集合论的开端。我学习了 Brockhaus-Efron 百科全书中的许多问题，并为自己填补了书中那些过于简洁的内容。”多卷本百科全书常是杰出人物青少年时代的“自修课本”，因为他们从不囿于学校里那些只适合普通人的必修科目。从大学生时代起，柯尔莫哥洛夫因其博学多才而享有盛誉。

如同远在他国的同龄天才冯・诺伊曼，柯尔莫哥洛夫的广博知识包括历史学。他参加了一位俄罗斯史名教授的研讨班，并写出了他一生中的第一篇研究性论文，探讨的自然不是数学史，而是关于十五、六世纪诺夫哥罗德共和国土地占有的实践史。写好后他颇为得意，以为教授会大加赏识。出乎他意料的回答却是：“你文章中的论据只有一个，对历史学而言太少了，起码得有五个论据才行。”（这位历史教授应该成为只“大胆假设”不“小心求证”以快速发表论文的那些社会科学家的“博士论文导师”。）正是这位令学生颇为失望的历史学家在无意中把柯尔莫哥洛夫推向了他的另一个至爱 —— 数学。他对数学终生矢志不渝，因为数学中的定理只需一个证明就够了！

在不到 20 岁时，年轻的柯尔莫哥洛夫就证明出有关集合论以及三角级数的几个重要结果。1922 年，他构造出一个几乎处处发散的傅里叶级数，成了冉冉升起的一颗数学新星。从那时起，他决定一生献给数学，这是数学的幸运，却是历史学的损失。到了大学四年级，他已发表八篇论文，1929 年拿到博士学位时他又写出了十篇，导师是比他年长 20 岁的莫斯科函数论学派的领袖之一鲁金（Nikolai Luzin，1883-1950）。柯尔莫哥洛夫一生的数学活动大大促进了众多领域的发展，包括函数论、概率论、泛函分析、拓扑学、随机过程、力学、湍流、遍历理论等，其中他于 1933 年以专著 Foundations of the Theory of Probability（《概率论基础》）的形式用测度论语言建立的现代概率论公理体系，为一项名垂千史之作。

柯尔莫哥洛夫 28 岁时成为莫斯科大学教授，八年后当选为苏联科学院院士。那个院士称号就像 1948 年的中华民国中央研究院院士或 1955 年的中国科学院学部委员一样，完全是 “足赤的金”。在祖国科学界，他囊括了与数学有关联的几乎所有大奖：国家奖、列宁奖、斯大林奖、切比雪夫奖、罗巴切夫斯基奖。在国际舞台上，他参加了 1954 年到 1970 年总共五次国际数学家大会中的四次，并于 1954 年在荷兰阿姆斯特丹召开的第十二届国际数学家大会上作了关于动力系统的一小时全会报告。该报告首次给出了求解经典力学微扰理论中小除数问题“KAM 定理”的原始思想，其中的 K 自然是他，M 是德裔美国数学家莫泽 (Jüngen Moser，1928-1999)，A 是阿诺德 (Vladimir Arnold，1937-2010)。后两人分别于 1962 和 1963 年对光滑扭曲映射和解析哈密顿系统证明了这个著名定理。

这里再举出柯尔莫哥洛夫在动力系统领域的另一项杰出贡献，并稍加说明。五十年代中期，他在考虑遍历理论的“共轭不变量”这一基本问题时创造了“测度熵”概念，这个在遍历理论中具有基本意义的熵是一个共轭不变量，意思是说彼此共轭的保测变换共享同一熵值，就像特征值是矩阵相似变换的相似不变量。

早在 1943 年，人们就已经知道定义在 0 和 1 两个符号构成的双向序列符号空间上的“伯努利 (1/2, 1/2)-双边移位”和定义在 0、1 和 2 三个符号构成的双向序列符号空间上的“伯努利 (1/3, 1/3, 1/3)-双边移位”这两个保测变换都具有可数无穷个“勒贝格谱点”，因而它们是谱同构的。然而数学家们不清楚它们是否也共轭，即是否存在这两个符号空间之间的保测同构，使得一个移位与它的复合等于它与另一个移位的复合。1958 年，柯尔莫哥洛夫算出这两个双边移位具有不同的测度熵，一个是 ln 2，另一个是 ln 3，因而它们彼此不共轭。

测度熵的最后完善化由柯尔莫哥洛夫的学生西奈依 (Yakov Sinai，1935-) 在 1959 年完成，因而该熵在文献中常被称之为“柯尔莫哥洛夫-西奈依熵”，它度量了一般保测变换无穷迭代过程最终性态的混乱程度。柯尔莫哥洛夫是个登峰造极的原创型数学家，他的脑汁浇灌出思想的花朵，但果实有时要靠勤勉园丁的催熟。他的另一个弟子阿诺德曾经书面回忆过，老师有时会在讨论班讲台前“挂黑板”，因为他忘记了证明的某些细枝末节。还有人统计过柯尔莫哥洛夫有十五篇的开创性论文没有列出任何参考文献。

柯尔莫哥洛夫的博士师兄兼终生好友、拓扑学家亚历山德罗夫 (Pavel Alexandrov，1896-1982) 说数学天才有“快型”和“慢型”之分，“希尔伯特属于‘慢’的天才，而柯尔莫哥洛夫无疑是‘快’的天才。”阿诺德在他的老师百岁冥诞时写的纪念文章里也回忆到他的这位领路人建立新学科速度之快：一两个礼拜就能解决一个大问题。但他快速成型的思想之深遂、日积月累的知识之广博、推陈出新的创造之能量，同时代几乎无人能与之匹敌。创造型数学家才是真正了不起的数学家，生前极受人尊敬、身后历史上留名、成就常被人提起，就像十多年前丘成桐 (1949-) 在面对北京数学家们的演讲中所专列的三个华人：创造出在几何拓扑中有基本用途的“陈-示性类”的陈省身 (1911-2004)、在“多元复变函数论”中与西方并驾齐驱的华罗庚 (1910-1985)、独立于西方提出“有限元方法”理论框架的冯康 (1920-1993) 。

柯尔莫哥洛夫和意大利裔美国物理学家费米 (Enrico Fermi，1901-1954) 一样，带出或影响了一大批杰出的学生，在国际数学界和物理学界可以分别用“前不见古人，后不见来者”来形容，尤其是前者。有人统计过，柯尔莫哥洛夫直接指导过的学生有 67 人之多，在数量上几乎达到孔夫子“贤弟子七十二”的纪录，其中有 14 人被选为苏联科学院的院士或通讯院士，名单可见张奠宙 (1933-2018) 所著《20 世纪数学经纬》书中的第 368 页。除了前述的阿诺德和西奈依，柯尔莫哥洛夫还有一个更有名的弟子是从未读过高中或大学就直接成为其博士生的盖尔范德 (Israel Gelfand，1913-2009)。这位传奇的学生和吴健雄 (1912-1997) 一同站在了第一届沃尔夫奖的领奖台上接受以色列总统颁奖，甚至比他的老师还早了两年获此殊荣。

柯尔莫哥洛夫由于其在国内外崇高的学术地位，即便在多疑冷峻的斯大林 (Joseph Stalin，1878-1953) 当政时，日子也比绝大多数的苏联科学家好过一些，未遭遇太大的政治麻烦。有趣的是，1930 年，小他八个月的冯・诺伊曼由东欧赴美担任普林斯顿大学的访问教授，而柯尔莫哥洛夫则前往西欧的数学重镇：哥廷根、慕尼黑、巴黎，结识了希尔伯特、勒贝格 (Henri Lebesgue，1875-1941) 等大数学家。这九个月的学术访问令他终生难忘。如果柯尔莫哥洛夫像冯・诺伊曼终生留在美国那样待在西欧不归或应邀赴美长居，在美苏冷战的几十年漫长岁月里，他和西方一流数学家的交流无疑会更深入广泛、对国际数学社会的影响会更有力全面。但是，如同华罗庚 1950 年的美国归来使得东亚病夫式的中国数学局部地翻了身，柯尔莫哥洛夫的存在让已令西方佩服得五体投地的俄罗斯数学更上了一层楼。

柯尔莫哥洛夫长期参与培育资优青少年，晚年更热衷于中学数学教育改革，不仅亲手施教，而且率领孩子远足野营，从培养体魄中训练数学。但像比他早几十年热心青少年教育实验的英国哲人罗素 (Bertrand Russel，1872-1970) 一样，未能特别成功。改革不理想而心理受打击的柯尔莫哥洛夫最后患上了帕金森症，在 84 周岁那年去世，未能像一生中高潮低谷三起三落但永葆“三大激情”终生达观的罗素那样活到将近百岁。

阿诺德对自己的导师这样“盖棺论定”：“柯尔莫哥洛夫、庞加莱、高斯、欧拉、牛顿，只有这五个生命将我们与科学的源头分开。”

冯・诺伊曼

冯・诺伊曼降生在匈牙利布达佩斯一个富裕犹太家庭，似乎是《论语》中所说的“生而知之者上也”。六岁时，他能表情奇怪地心算八位数的乘除。成年后的他在用头脑计算复杂问题时常注视着天花板，像和尚念经似地口中念念有词，答案就从嘴边滚滚而出。一个广为流传的故事说当他被问，在匀速相向而行的两人之间，有一只苍蝇在他们之间不间断地以匀速直线运动来回飞，那么在两人碰面时，苍蝇共飞了多少距离？冯・诺伊曼一眨眼就告诉了答案，用的是令人惊讶的无穷级数求和法，而不是人们通常所用的初等方法。

冯・诺依曼确是神童，他八岁熟悉微积分，12 岁读懂波莱尔 (Émile Borel，1871-1956) 的《函数论》，15 岁跟随著名分析学家赛格 (Gábor Szegő，1895-1985) 研习高等微积分。在他们首次见面时，赛格对他的数学天赋感到非常震惊，以至于流下了眼泪。但年少的冯・诺伊曼对历史也特感兴趣，在自家的图书馆里通读了一套 46 卷世界历史系列 《专著中的通史》。在他就读的精英中学，除了几何绘画、写作和音乐得了 B 外，他其余门门是 A，但体育最差：C。

美国首届国家科学奖得主冯・卡门 (Theodore von Kármán，1881-1963) 也是匈牙利神童。他在自传中回忆，当年 17 岁冯・诺伊曼的银行家父亲曾特地咨询了已有名气的冯・卡门，问儿子大学读何专业好。作为父子不同选择的折中方案，冯・诺伊曼同时在德国的柏林大学和祖国的布达佩斯大学分修父亲选的化工和自己爱的数学。冯・诺伊曼的第一篇数学论文发表在 1922 年，那时他还不到 19 周岁。当他翌年转到瑞士的苏黎世联邦工学院读化工研究生时，主要在做数学了。有次冯・诺伊曼在课堂上问了也生于布达佩斯的波利亚 (George Pόlya，1887-1985) 教授一个数学问题，后者晚年时对此评述道：“从那时起我就开始害怕他了。”

冯・诺伊曼大概是二十世纪全世界最聪明的数学家，这让德裔美国物理学家、1967 年的诺贝尔物理奖获得者贝特 (Hans Bethe，1906-2015) 感叹不已：

“有冯・诺伊曼这样的大脑是不是意味着存在比人类更高一级的生物物种？”

长冯・诺伊曼一岁并在匈牙利同一所精英中学早一年毕业、1963 年的诺贝尔物理奖获得者魏格纳 (Eugene Wigner，1902-1995) 终生对他有一种近乎自卑的情结藏于心中：

“不管多么聪明的人，和冯・诺伊曼一起长大就一定会有挫败感。”

虽然冯・诺伊曼被公认为电子计算机之父和博弈论之父，但他认为最令自己自豪的学术贡献都在数学上：希尔伯特空间的自共轭算子理论、量子力学的数学基础和以他名字命名的冯・诺伊曼平均遍历定理。这三项数学成果都是开创性的，第一项构成了上世纪初开始孕育的新学科泛函分析的一个主要部分，第二项用无穷维线性算子的语言夯实了量子力学的逻辑基础，第三项则对统计力学中基本的玻尔兹曼遍历假设给予了数学的检视，是遍历理论这门在本世纪注定要更加发达的综合性学科中被证明的第一个重大定理。

冯・诺伊曼的主要数学成就当然不止他自己认定的上述三个。1940 年是他研究事业的分水岭。在这之前，他在纯粹数学的象牙塔里大显身手，一出手就在数理逻辑领域里留下深深的足迹，很快又在集合论中提出了新的公理化体系。在短时间内完成一生三大数学成就后的 1933 年，还没到 30 周岁生日的冯・诺伊曼就用紧致群的工具破解了希尔伯特第五问题，然后他从测度论、格论、连续群、算子环等地盘一路杀去“横扫千军如卷席”，留下累累战果。

这位身材敦实、硕大的头部常面带微笑看上去更像富国银行总裁的大数学家，一生中也许不及爱因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 具有那种惊世骇俗的原创力，但却像中国十年前快速发展的高速列车一样，马上能把耳闻目睹的原始想法神速地拓展开去，令人瞠目结舌。不到 30 周岁，他就成为普林斯顿高等研究院首批聘用的包括爱因斯坦在内的六名永久教授之一。

美国加入二战后，冯・诺伊曼与时俱进地变换了角色，像孙悟空似地摇身一变，从纯粹数学家变成了应用数学家，为气体运动学的冲击波、流体力学的湍流等实用学科建立了理论，也为新兴的计算数学贡献了基本的概念和方法，并在热核聚变研究中发挥了大作用。他在忙碌之外与普林斯顿大学经济学教授摩根斯特恩 (Oskar Morgenstern，1902-1977) 合著的《博弈论和经济行为》(Theory of Games and Economic Behavior)，成了博弈论的奠基之作。他在得知自己罹患不治之症后的最后岁月里，努力探索电脑与人脑的类似机制，其未完成的应邀为耶鲁大学于 1888 年建立的“斯里曼纪念讲座”所写的讲稿，在他离世后以 “计算机和人脑”(The Computer and the Brain) 为书名由该大学的出版社出版。

四十年代中后期，随着冯・诺伊曼帮助研制成功的第一台电子计算机的出现，方便而又快速的数值计算极大地帮助了创造型数学家的大脑思维，成了他们提出问题、解决问题的好帮手。作为最早接触现代计算机的数学家，在与像费米这样的大物理学家合作解决物理问题的过程中，冯・诺伊曼等数学家成了“非线性分析”这一集数学、物理、计算机等学科于一身的科学领域的开创者。

冯・诺伊曼虽然是以一名伟大的数学家著称于世，然而，政治家与军事家也和科学家那样对他一贯“顶礼膜拜”。在他临终前住的美国首都华盛顿里德医院病房里，对现代数学几乎一窍不通的“美国国防部正副部长、陆海空三军司令以及其他军政要员们围聚在他的病榻前，聆听他最后的建议和非凡的洞见”。历史上似乎没有任何其他数学家在临死前受到众多军事将领如此潸然泪下的最终告别。

然而，一些同时代或晚一辈的科学家觉得冯・诺伊曼的那颗大头颅在开辟方向的原创性上，与它在迅速解决困难问题的超凡功能相比，还是有点“稍逊风骚”的。比如，他生前短暂几年的普林斯顿高等研究院同事、从纯粹数学家起步的著名数学物理学家戴森，在其 2009 年发表于《美国数学会会刊》(Notices of the American Mathematical Society) 第二期上的美文《鸟与蛙》(Birds and Frogs) 中，将冯・诺伊曼归类于“解决问题高手”的“蛙类数学家”集合，而将杨振宁 (1922-) 放进了“翱翔辽阔天空”的“鸟类数学家”行列。

按照戴森在《鸟与蛙》中的叙述，1954 年的荷兰阿姆斯特丹国际数学家大会的与会者们目睹了一幕像混沌所揭示的未可预测的尴尬情景，这是作者对冯・诺伊曼不很欣赏的一次描绘。当希尔伯特关于 23 个数学问题的世纪报告过去了五十年后，人们希望一个新的高瞻远瞩的希尔伯特能提出新的大问题来引导下一个五十年的数学发展。众望所归的这个人似乎非人气最旺的冯・诺伊曼莫属。于是大会的请柬寄去了，报告的题目 “数学未决问题” 也发给了参会代表。1954 年 9 月 2 日的下午 3 时整，风尘仆仆匆匆赶来的冯・诺伊曼从嘴里吐出的是他三十年代早先工作的拿手好戏 “算子环”，而不是什么未决问题，这不啻给了众多翘首以盼的数学家们一记闷棍。

因此，戴森评述道：冯・诺伊曼“实则是只青蛙，但每人都期望他像一只飞鸟 (He was really a frog but everyone expected him to fly like a bird)。”

然而，肯定会有一些同吨位的科学家不敢苟同如上的断言。1954 年，冯・诺伊曼正在热衷于做他不愧于“现代计算机之父”称号的宏伟事业，他或许太忙了而不得不怠慢国际数学家大会对他的如此重托。因为这个插曲而得出“他不是鸟类数学家”的结论恐怕是有点理由不十分充分的。希尔伯特的创造力或许更强于冯・诺伊曼，但根据数学家传记名作《希尔伯特：数学界的亚历山大》(Hilbert) 中的记载，他在精心准备 1900 年数学家大会的“数学问题”演讲稿时，得到了他终生朋友闵可夫斯基 (Hermann Minkowski，1864-1909) 的鼎力帮助，所以他能提出影响深远的那堆 23 个问题，也是两副数学巨脑“思维碰撞”的结晶。

法国布尔巴基数学学派的创始人之一兼第一写作高手迪厄多内 (Jean Dieudonné，1906-1992)，把冯・诺伊曼称为“最后一位伟大的数学家”。曾在四十年代当过冯・诺伊曼的助手、写过几本脍炙人口数学名著的匈牙利裔美国数学家哈尔莫斯 (Paul Halmos，1916-2006)，对他的评价只用了一句话概括：“伟大的冯・诺伊曼使全人类受益”。而另一位匈牙利裔美国数学家、拿过美国国家科学奖、沃尔夫奖和阿贝尔奖的拉克斯 (Peter Lax，1926-)，则把他描绘成二十世纪一个具有“最令人生畏非凡技术能力”以及“火花四射高智力”的大学者，说他有“最强大脑” (the most powerful brain)。他在一次纪念这位祖国先贤的采访中甚至如此认为：“如果冯・诺伊曼活得长一点，他肯定可以获得数学的阿贝尔奖、诺贝尔经济学奖、计算机的大奖、量子力学的诺贝尔物理学奖，等等。”

冯・诺伊曼比我们中的绝大多数人都活得短，可是世界因为他而截然不同。只要读一读麦克雷 (Norman Macrae，1923-2010) 于 1992 年出版的佳作《天才的拓荒者 —— 冯・诺伊曼传》(John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More)，只要看一眼当事人之一的戈德斯坦 (Herman Goldstine，1913-2004) 在他 1972 年所出版的书《计算机：从帕斯卡到冯・诺伊曼》(The Computer from Pascal to von Neumann) 中仔细回顾的美国现代计算机五十年代早期发展史，就可以想象，如果仅仅活到刚过了 53 周岁生日 42 天的冯・诺伊曼能活到六十年代初美国第一届国家科学奖颁发，说不定评奖委员会真的难以决定是把这个美国科学家的最高荣誉授予他还是授予同样对美国贡献巨大的前辈匈牙利人冯・卡门。这个悬念的依据之一是：在冯・诺伊曼去世的前一年，美国总统艾森豪威尔 (Dwight Eisenhower，1890-1969) 授予他“总统自由勋章”。

简单回顾了柯尔莫哥洛夫和冯・诺伊曼的科学生涯后，我们既赞叹二十世纪数学苍穹的东西两片天空曾经闪耀过这两颗光芒四射的星球，又遗憾意识形态之争所激起的汹涌湍流令他们无法在数学大海中“同志加兄弟，并肩去畅游”的事实。但是，按照“科学无国界”的普适信念，同年出生的他们对整个数学事业，为全部人类荣光做出的丰功伟绩，将“与天壤而同久，共三光而永光”。

完稿于 2023 年 2 月 4 日星期六

美国哈蒂斯堡夏日山庄

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