《张朝阳的物理课》讨论量子力学核心理论：薛定谔方程是怎么被“猜”出来的

问任何一个物理爱好者，什么是量子力学？他们很可能会提到“薛定谔的猫”。接下来呢？则可能是薛定谔方程。但是这个方程究竟是什么，为什么它如此重要，以至于任何一个量子物理学家都会把它记在脑海中？1 月 7 日，在第十八期《张朝阳的物理课》上，搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳在直播间再现薛定谔方程奇妙的发现过程，初步揭秘量子力学的核心理论。

复习经典物理波动方程 回顾德布罗意物质波公式

在直播间里，张朝阳带领大家简单复习前两节课的要点，并重点回顾经典力学中描述粒子和波的方式。在经典物理中，力的作用导致粒子运动状态的改变，可以用牛顿第二定律来描述这个改变过程。粒子的运动状态由位置和速度来表征，力的作用会改变粒子的速度，从而改变其能量。而在量子力学中，粒子由波函数来描述。在此，张朝阳先向网友介绍了经典力学中对波的描述方式。以一维波为例，在经典力学中，波由相应的波动方程来描述：

上述方程的解具有如下形式：

它示向左传播和向右传播的波的叠加。以平面波为例，描述平面波的 2 个主要参数为圆频率 ω=2πf 和波数 k=2π/λ。其中 λ 为波长，f 为频率。

▲ 张朝阳介绍平面波

张朝阳带着网友回顾德布罗意波的一些关系式：

它们在接下来薛定谔方程的引入中将会用到。

如何猜出薛定谔方程？ 求导和对照是关键

“我们努力地猜，当年薛定谔是怎么想到这个方程的？他看到德布罗意的论文之后，意识到电子应该用波来描述，于是把电磁波的想法转移过来，猜出了这个方程，最后居然是对的。”张朝阳像说故事一样引出今天的主题。

德布罗意提出物质波的时候只是给出了波长和动量的关系，但是并没有推导物质波如何演化。那么，薛定谔是如何猜出这个方程的呢？直播过程中，张朝阳做了详细生动的介绍。

他在白板上写下光电场分量的平面波形式：

他解释：“结合德布罗意公式，可以将其中的指数部分改写为”：

这就是薛定谔猜测的物质波的平面波形式。出于简洁的需求，张朝阳先考虑了一维自由粒子的情况。其能量和动量满足如下关系：

它在量子力学下是否依然满足呢？薛定谔对此作出了勇敢的假设，认为这个关系在非相对论量子力学框架内依然成立。那怎样在波函数上体现出这个关系呢？这就需要先将物质平面波中的动量和能量“取”出来。

至此，张朝阳开始介绍求导得出动量和能量的方法。在平面波的式子中，动量和能量都出现在指数上，但是只要我们对位置 x 和时间 t 求偏导数，相应的动量和能量不就下来了吗？于是，张朝阳又展示了如下推导：

组合在一起就得到了有关这个平面波函数的方程。张朝阳强调，这个方程是线性偏微分方程，因此，它的各个解的线性组合，依然是原方程的解，这从形式上也符合量子力学的叠加原理。既然这个方程对平面波成立，而一般的波都可以看作是平面波的组合，那么这个方程对一般的自由物质波也成立。这就得到了一维自由粒子的波动方程：

此时，张朝阳顺势介绍，当存在外部势场时，能量将不仅包含粒子动能，还应当包含势能：

其中 U (x,t) 是势能函数。结合前面的推导，就得到了著名的一维薛定谔方程：

（张朝阳在直播中介绍薛定谔方程的形式）

张朝阳介绍，薛定谔方程不是推导出来的，而是猜测出来的。它是非相对论量子力学的基本方程，具有公设性质。只有根据薛定谔方程计算出结果，与实验结果一致，我们才能说这个理论是对的。他还解释，薛定谔方程的左边是对时间的一次导数，而右边是对空间的二次导数，这一点很关键。且考虑到因子 i 的存在，波函数不像电磁场那样是实函数，而是复函数。

统计诠释和波包速度：波函数的物理意义

不过，即使薛定谔猜出了波动方程，也不知道这个波的物理意义是什么。张朝阳由此引入量子力学的哥本哈根诠释，也就是所谓的统计诠释。

张朝阳介绍，“波函数的模方，表示的是粒子出现在相应位置的概率密度，根据这个概率密度，我们只需要对特定区域积分，就可以得到在该区域上发现粒子的概率。当我们得到粒子的波函数时，我们并不知道粒子具体在哪，我们得到的信息仅仅是测量后粒子在各位置出现的概率。”他还进一步介绍波函数归一化的概念。具体地来说，因为整个空间上发现粒子的概率是 1，于是波函数的模方在整个空间上的积分就等于 1。

此外，张朝阳还提到矩阵力学和波动力学的关系，他说，“它们就像一座高山上的两条路径”。换言之，矩阵力学和波动力学都是描述量子力学的正确方法，是相互等价的。

张朝阳再次演示，在量子力学中，粒子的速度不再等于 ω/k，而应该等于相应的波的群速度 dω/dk。根据张朝阳的计算，ω/k 实际上等于 v / 2，为粒子速度的一半。如果使用群速度 dω/dk 来计算，则得到了正确的速度 v。他解释道，这是因为粒子在实际观测中以波包的形式存在，群速度是描述整个波包的移动速度的，因此正好对应于粒子的速度；而 ω/k 是等相位点的移动速度，不代表粒子的运动速度。

▲ 张朝阳介绍波包的群速度

“我们今天理解了薛定谔是怎么猜到薛定谔方程的，也知道描述具有波粒二象性的微观粒子的波函数。后面，我们只要解这个方程，就能把天下所有事情给它算出来。”直播尾声，他回顾这一课的主要内容时说。同时他鼓励网友，量子力学很难懂，“会用很多堂课来讲。”据了解，下一讲他将开始解薛定谔方程，来解释氢的光谱，求一些波函数的定解，以及薛定谔方程的各种应用。

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