学物理也要用到基础数学，《张朝阳的物理课》推导球坐标系体积元

2 月 20 日 12 时，《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先带着网友复习麦克斯韦速度分布律，补充了速度分布化为速率分布的细节，引出关于直角坐标系与球坐标系的讨论，并导出球坐标系的体积元。之后以球壳与质点间的引力计算为例，结合巧妙的积分参数变换，得到具体公式，最终发现球壳所受引力可以等效到其质心上，即质量集中到球心。将球壳积分变为球体也具有同样的结论。

“今天是复习和反刍的一天。”张朝阳说，“上节课谈了玻尔兹曼在速度场和重力场的分布，今天本来想讲点玻尔兹曼分布更普遍的证明，但比它更重要的，是组合与熵的概念。这样就得学点热力学、学点数学，补充点基础知识。”

区别与联系：麦克斯韦速度分布与速率分布

张朝阳先带着网友复习如何推导麦克斯韦速度分布。“它重点强调理想气体的各向同性，表明速度分布只与速率有关。”他解释说，依据三个垂直方向上速度分布的独立性，可以将总的速度分布函数分解为各个方向上速度分布函数的乘积；之后取对数，将乘积化为求和的形式，再对某一速度分量求偏导；结合一些简单的变换，就可以用分离变量法，解出各方向上的速度分布，进而回过头来，得到完整的三维速度分布。

利用球坐标系与直角坐标系中体积微元之间的关系，可将速度分布化为速率分布。张朝阳指出，“速率分布显示，粒子速率趋于 0 时，概率密度趋于 0。然而，速度分布却显示，粒子在某方向上的速度为 0 时，概率密度取到最大值。”

怎么理解这个看似矛盾的结果呢？张朝阳解释说，速度分布描述的是，速度处在速度区间 Vx~Vx+dVx、Vy~Vy+dVy、Vz~Vz+dVz 的粒子数，它对 x、y、z 三个分量都有要求，只要其中一个速度分量超出此区间，就不计算在分布里面。但是，速率分布描述的是速率处在速率区间 V~V+dV 的粒子数。由速率与速度的定义，可以知道他们并不是一一对应的。一个速率可以对应多个速度。一个速度区间 A 的粒子，对相应的速率区间 dV 有贡献；但速率区间 dV，包含的不只有速度区间 A 的粒子，还包含了其它速度区间 B、C、D 等的粒子。由速率与速度之间的关系，可以看出，当速率越小，其在球坐标系对应的球面越小，直观来讲就是对应的可取速度状态数越少。所以，即使速度分布在各自速度分量趋于 0 时能取到最大值，对速率分布，当速率趋于 0 时，对应的状态数急剧下降，概率密度趋于 0。

如何定量描述速率区间与速度区间状态数的对应关系呢？张朝阳告诉网友，“这就涉及到球坐标系体积微元的推导。”

几何与变换：球坐标系的体积微元

张朝阳对着示意图边写公式边推导。他说，在球坐标 (r,θ,φ) 所示的某点上，给 θ 做一个微小的变化 dθ，同时也给 φ 做一个微小的变化 dφ，就会在半径为 r 的球面上，划出一个边长分别为 rdθ 与 rsinθdφ 的小面积元，其面积大小为 r^2sinθdθdφ, 若对 r 再做个微小的变化 dr，则会形成一个以前述面积元为底、高度为 dr 的体积微元，其体积大小是 r^2sinθdθdφdr，这就是球坐标区间 θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+dr 所对应的体积。

（推导球坐标系的体积元）

在笛卡尔坐标系里，体积微元是 dxdydz；将积分变量从直角坐标系变换到球坐标系后，就可以将直角坐标的体积微元换成 r^2sinθdθdφdr 再继续积分。当然，类似地，反过来从球坐标到直角坐标也是可以进行变换的。

同理，将 x，y，z 换成速度 Vx，Vy，Vz，速度区间所示的体积微元 dVxdVydVz 对应到球坐标系里的体积微元就是 V^2sinθdθdφdV，其中 V 是速率。所以当速率趋于零时，体积元以 V^2 方式减小到零，这就解释了为什么速率趋于零时对应的速率分布值也趋于零。

分割、换元、组合、等效：计算均匀球体的引力

作为球坐标系的一个典型应用，现在计算质量为 m 的质点与半径为 r 的球壳之间的引力，质点与球心的距离为 R，具体参数如下图所示：

（张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力）

张朝阳继续说明，“设球壳密度为 ρ，半径为 r 的球壳上的小体积元质量为 ρr^2sinθdθdφdr，其与质点的距离设为 l，则球壳与质点 m 之间的引力为：”

如果将 x 与 l 表示为 cosθ 的函数，积分会变得比较难，故尝试选取其它参量作为积分变量。注意到 cosθ 可由其所在的直角三角形的边长表示为：

那么质点 m 与球壳之间的引力为：

现在只剩下 x 与 l 两个参量，只要将其中一个表示成另一个，就可以做积分。张朝阳选择将 x 用 l 表示出来，最终全部化成对 l 的积分。为了完成此目的，注意到包含 θ 所在的直角三角形有勾股定理：

利用此公式可以将 x 表示为：

最后代入积分公式里并完成对 l 的积分后：

注意到球壳的质量为 4πr^2ρdr，R 是质点到球壳的距离，从上述引力的公式可以发现，质点 m 与球壳的引力可以等效地看成是球壳所有质量集中在球心的引力。那么将球壳按照 r 积分起来，就得到质点 m 与球体之间的引力：

他指出，“可以发现，质点与球体的引力也可以等效地把球体质量看成集中在球心，并且即使球体密度与径向距离有关，也不影响此结论。”

“球体在宇宙学里是普遍存在的形状，可以利用这个结论方便简易地得到其万有引力，所以这个结论具有非常重要的意义。”直播结尾，张朝阳告诉网友。

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