在没有计算器的年代，他的发现帮科学家们省了一大半草稿纸

一个完美的世界离不开数，数隐藏了万物之间的规律。自古以来，数不仅成为处理各种事务的工具，揭示数的规律更体现了人类研究自然现象中的理性能力、根源和力量。探讨现象背后数的规律吸引着伟大的智者，欧几里得、哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、帕斯卡、牛顿、爱因斯坦等诸多大师，在探索数的基础上构建起一座座宏伟的科学大厦：欧几里得几何大厦、牛顿经典力学大厦、门捷列夫元素周期大厦、达尔文进化论大厦、爱因斯坦的相对论的时空大厦、微观物理的量子力学大厦……

面对这一座座宏伟的科学大厦，人们不仅对这些科学巨匠产生敬仰之情，也让我们对中国古代庄子所说 “原大地之美，而达万物之理”有了更深刻的体会。在这“原大地之美”与“达万物之理”中，数的规律一直是人类追寻的目标。

文艺复兴之后，相继出现了阿拉伯计数法、十进小数和对数，它们成为数学世界中的三大发明，它们的出现促进了近代数学的产生和发展。其中对数的发现很难出于直觉，因而更为艰难。

18 世纪法国伟大数学家、天文学家拉普拉斯认为，对数的发明“缩短了计算时间，延长了天文学家的寿命”。实际上，对数的优越性远不只在对付大量数据的处理上，在更多的领域中，对数有着更重要的应用。

人类关于对数的思考起源很早，早在公元前 500 年，阿基米德就曾对比过两个数列：一个数列是 10 的连乘，这就是 1，10，10²，10³，10⁴，…，另一个是 0，1，2，3，4，… 表面看来，两个数列没有直接关系，但他却找到了其间的内在关系，以第二个数列的加减可以表述第一个数列的乘除，例如 1 与 2 相加，对应第一个数列中 103 中 3 的方次。按照这一思路，本可以发展出对数关系，可惜的是，他没能继续下去。

2000 年过去了，德国数学家史蒂非再次注意到了这件事，他对比了另外两个数列，0，1，2，3，4，5，… 和 1，2，4，8，16，32，…，他发现前一个数列中的加减运算和后一个数列中的乘除运算有对应关系，例如前一个数列中 2 和 5 相加得 7，在后一个数列中对应项 4 和 32 之积 128 正好是 2 的 7 次方，在这两个数列之间，也隐含了对数关系。按照这个思路发展下去，也可能发展出对数关系来，可惜在当时还没有完善分数指数的概念，使进一步扩展这一想法遭遇到了困难。

阿基米德与史蒂非的这些发现，对对数的建立起到了开启性的作用，而 15、16 世纪天文学的发展，又促进了对数的建成。在这一时期，庞杂而巨大的天文数字摆在了人们的面前。

例如，在计算星球轨道与星球之间相对位置的关系时，面临大量数据的乘除、乘方和开方运算，躲避不开的繁难数字运算使天文学家倍感苦恼。寻求一种简单的办法，将大数缩减为小数、用加减代替乘除，成为开启天文时代的需求，这一绝妙的办法终于被英国数学家约翰・纳皮尔发现了。

1550 年纳皮尔生于苏格兰的爱丁堡，关于他的早年情况所知甚少，仅找到一封来自当地牧师 —— 也是纳皮尔的舅舅写给他父亲的信。信是这样写的，“上帝保佑你，先生，把儿子送到学校去吧，你可以把他送到法国去。在家里，他不可能受到良好的教育，也不可能适应这个险恶的世界。把他送出去，反倒能使他得到更好的保护，而且还可能做出伟大的壮举来。我敢向你保证，他一定会做到的。”这时纳皮尔年仅 10 岁。舅舅的两个判断都对了，纳皮尔出生时，父亲年仅 16 岁，“在家里不可能受到良好的教育”，事后更证明，纳皮尔的确做出了“伟大的壮举”。

1565 年，纳皮尔 16 岁时，进入圣・安德鲁斯大学。两年以后，他喜欢上了神学，但他并没有拿到学位。之后辗转于法国、意大利和荷兰，最后回到他的苏格兰家乡。他把大量时间用于神学研究，同时也痴迷于数的研究，但数学于他只是一种业余爱好而已。

纳皮尔的“业余爱好”使他有了重要的发现。纳皮尔再次注意到了等差数列和等比级数数列间的对应关系，但他比阿基米德和史蒂非更进一步，他想找到一种方法，把两者的关系表述出来。经他研究发现，后一组数中每两个数之间的乘积关系对应着前一组数中两个数之和，如果把这种对应关系加以实用，就可以以加减法代替乘除运算了。为了找到这种替代关系，他花了二十多年的时间研究数，并在此期间发明了对数，还找到了用于解决球面三角问题的公式记忆术，发明了三角函数的表达形式，并为分数引进了十进位的小数表达方式。其中，对对数的研究占据了他较多的时间。

1614 年，纳皮尔出版了名为《奇妙的对数定理说明书》，其中讨论了对数的运算，还附带了一个正弦对数表。当时并没有完善指数的符号，也没有“底”的概念，这使纳皮尔的对数公式的表示受到了限制，但从这张表中仍然可以看出他数学思想的高超。

《奇妙的对数》一书发表两年后，由拉丁文翻译为英文再次出版。在这本书的前言中，纳皮尔讲述了他思考这个发明时的想法，他说：“我之所以找到这种方法，实际上是出于计算的繁琐给我带来太多的烦恼，在乘法、除法、乘方、开方中，我遇到了特别多的数，并不是这些数不能算下去，实在是这些数既冗长又繁琐，占据了太多的时间令人烦恼。有时在计算中，还常常会出错。因此，我想要找出一个办法解决这些烦人的拦路虎和障碍。为此，我想出了很多办法，但最有效的还是对数法。”

1614 年，在这本书还没有翻译成英文时，英国的一位数学家克拉特・布里格斯首先做出了积极的反应，他立刻意识到纳皮尔对数的重要意义。在 1615 年 3 月 10 日写给朋友的一封信中，他说，“纳皮尔，这位马金斯顿（纳皮尔在苏格拉家的领地）的主人，他的对数使我佩服得五体投地，我真希望能在这个夏天见到他。感谢上帝，我从没有见过这样一部书，让我这样的感兴趣，太令人神往了。”

布里格斯真的去见纳皮尔了。他骑马经过 4 天长途跋涉来到苏格兰的马金斯顿。1615 年 7 月 2 日这一天两人见了面，这次相见成为对数发展关键的一天。布里格斯建议纳皮尔，把对数以 10 为“底”，也就是以 1 对应 10，以 2 对应 100，即以 n 对应 10ⁿ。这一关键性建议，不仅使对数有了“底”的概念，更形成了有“底”的对数格局。布里格斯还建议他，用这种方法建立对数表。可惜的是，此时纳皮尔的健康状况很糟，难以完成这项工作了。

1617 年 4 月 4 日，纳皮尔去世。这一年布里格斯发表了世界上首个以 10 为“底”的常用对数表，接着，在 1620 年，格莱斯哈姆学院的甘特教授制作成功世界上首把用于实用计算的对数尺，从此开始了对数研究与实用的大发展。

对数的发现在世界上引起极大的反响，它如同开源的一股闸流，不到一个世纪，几乎传遍整个世界，迅速渗透到了贸易往来和天文学研究中。尤其是当时的天文学家，几乎以狂喜的心情来接受这一发现。在计算机发明以前，对数是十分重要的计算工具。经过几代数学家的耕耘，对数的意义已经不仅是一种计算技术，特别是以自然数 e 为底的对数发展，更使对数与诸多领域间千丝万缕的关系逐渐展现出来。

对数是数学领域中的一个划时代的发现，它简化了数的运算程序，降低了求解问题的复杂度。在自然科学和技术中，对数有着广阔的应用。在数学领域的概率与统计学的大数定律与分形学研究中，在物理学热力学第二定律熵与混沌的研究中，在计算机科学的对数分析与集成对数定律中，在生物学螺旋结构研究与微生物生长期研究中，在信息学光信息的处理中，在经济学计量经济学的发展中，在心理学人类认知的希格斯法则研究中，甚至在音乐和美术学中，如音乐创作的音频与间隔的关系中，等等，对数规律无处不在，对数的发展对天文学、宇宙学、无线电电子学、通信等领域更是带来了重大的推动与发展。

更为重要的是，通过对数的研究，人们认识到了重要的科学研究方法。从对数的发展可以看出归纳和类比的重要作用。世间万物都存在着内在的关联，科学的任务就在于揭露这些关联的内在联系与规律性，数学研究的是其间的数量关系，其中最基本的是，两个集合之间的对应关系，找到这种关系的重要研究方法就是归纳和类比。

拉普拉斯曾说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”利用归纳和类比，不仅使人们看到数学内部结构的严谨性和强逻辑性，更可以看到不同表述间的关联，这种关联不是偶然的，它显示着数学内部逻辑结构的强大。它可以使表面上看似没有联系的东西之间出现联系，从看似无从下手的事物上找到突破口，令看似模糊的东西明朗化和清晰化，从中找到一个从此岸攀登到彼岸的“手杖”。在数学内部“隔岸”间的转换中，有着妙趣横生的东西，可以说，奇妙的对数无所不在。纳皮尔因这一发现，揭示这一奇妙的源泉而被载入史册。

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：魏凤文、武轶，编辑：张润昕

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