数学的困难在于，我们甚至不知道一个简单的流体方程是否有解

当埃菲尔在 1889 年建造著名的诶菲尔铁塔时，他挑选了 72 位 19 世纪著名的法国科学家，将他们的名字刻在了铁塔上，以示崇敬。最引人注目的有拉格朗日、拉普拉斯与勒让德。你还会发现纳维的名字，纳维是当时著名的工程师，曾跟着伟大的数学家傅里叶学习过一段时间。1820 年前后，纳维开始思考与流体有关的数学。在 1821 年到 1822 年间他发现了著名的纳维-斯托克斯方程组。

18 世纪上半叶，瑞士数学家丹尼尔・伯努利用微积分描述了流体在受到多个力作用下的运动方程。在伯努利的基础上，欧拉构建了一组方程，可以精确地描绘无黏性流体的运动。

1822 年，纳维改进了欧拉的方程，使之能适用于有一定程度黏的流体。纳维的数学推导是有缺陷的。但他最后得出的方程是正确的。几年之后，爱尔兰数学家斯托克斯作出了正确的推导。一开始，斯托克斯就专注于采用微积分方法来解释流体的运动。他发现了 20 年前纳维推出的公式（但他的推导过程是正确的）。

在纳维和斯托克斯的工作的基础上，到 19 世纪末，数学家差一步就要发展出一种关于流体运动的完整理论了。只有一个问题尚待解决。没有人能够证明纳维-斯托克斯方程组是否有解。关于流体运动的数学看来极其困难。

从离散到连续

当 16 世纪和 17 世纪初的数学家试图写出描述行星运动的公式时，他们遇到了一个基本的问题。数学的工具本质上是静态的。数、点、线等等，对于计算和测量是精良的，但是仅靠它们是不能描述运动的。为了研究连续运动的物体，数学家必须找到一种方式，把这些静态的工具应用于动态的运动。17 世纪中叶，牛顿和德国的莱布尼茨各自独自“发明”了微积分，让数学前进了一大步。

牛顿和莱布尼茨的想法是将连续运动视作是由一系列静止形态组成的。每一个静止形态可以用现有的数学技巧来分析，困难在于如何将所有的静止形态组合起来。要在数学上形成连续运动，牛顿和莱布尼茨必须以无穷大的速度“放映”这些静止的形态，而每一形态只能持续无穷短的时间。微积分就是由牛顿和莱布尼茨为执行这个把无穷个形态按顺序排好的工作而研究出来的一套技巧。

微分学的基本运算是称为微分的过程。微分的目的是得出某些变化量的变化率。为了做到这一点，变化量的值、位置或路径必须由一个适当的式子给出。然后对这个式子进行微分，产生另一个能给出变化率的式子。因此，微分是把一个式子转换成另一个式子的过程。

十八世纪，微积分被用于研究像行星那样的固体对象的连续运动，或连续几何图形的连续变化着的斜率。伯努利试图将这种方法应用于流体的连续运动（液体或气体）。

对于牛顿和莱布尼茨来说，所分析的连续运动是孤立的、离散的物体（行星或粒子，或是一个图形或一个曲面的点）的连续运动。然而，在流体的情况下，不仅运动，而且物质本身也是连续的。

伯努利把连续的流体看作由无限紧靠在一起的无穷小离散区域（或“液滴”）所组成的，其中每一个区域可以用牛顿和莱布尼茨的方法处理。另一种方式是，以位于流体中任一特定点为对象（一个无穷小点），写出描述其路径的方程。这就需要把握两类无穷小。

把每一个无穷小颗粒的运动看作是一系列 "定格"，这就是研究单个对象的连续运动时所用的标准微积分方法。运动被看作将一系列静止状态按时间排列而形成的序列。

在一个“点”所取的路径与另一个与之无限靠近的“点”所循的路径之间，存在着无穷小的几何变化。

棘手的问题是要同时把握这两类无穷小 —— 时间无穷小和几何无穷小。这耗去了伯努利成年时代的大部分时光。1738 年，在他的《流体动力学》（Hydrodynamics）一书中，他公布了自己的结果。其中关键的思想是把解取为所谓的向量场。简单说，向量场是一个含有三个自变量 x、y、z 的函数，它告诉你流体在其中任意一点（x，y，z）的流动速度和方向。

《流体动力学》中有一个方程，这个方程表明，当流体流过一个表面时，这流体作用于表面的压强随着流动速度的增大而减小。为什么这个结论值得一提呢？因为伯努利方程奠定了现代航空理论的基础，解释了为什么飞机能在空中飞行。

在伯努利工作的基础上，欧拉建立了描述无摩擦流体在已知力作用下运动状况的方程组，但他没能解出这些方程。纳维和斯托克斯后来改进了欧拉的方程组，使之适用于黏性流体。他们得到的方程被称为纳维-斯托克斯方程。

虽然这些方程可以在无限薄平面膜流体这一假想的二维情况下解出，但人们却不知道在三维的情况下是否有解。请注意，问题的关键不是这个方程的解是什么，而是这个方程是否有解。

让我们从欧拉的那个关于流体运动的方程组说起。这个方程组描述的是一种在各个方向上无限延伸的无摩擦流体的流动情况。

我们假设流体中的每一点 P =（x，y，z）受到一个随时间变化的力。假设 t 时刻作用在 P 点上的力是，

设 p（x，y，z，t）为时刻 t 流体在 P 点的压强。

时刻 t 流体在 P 点的运动可以通过给出它在三个坐标轴方向上的速度来描述。令 u_x（x，y，z，t）是流体在 P 点沿 x 轴方向的速度，u_y（x，y，z，t）是流体在 P 点沿 y 轴方向的速度，u_z（x，y，z，t）是沿 z 轴方向的速度。

我们假设这流体是不可压缩的，也就是说，当一个力作用于它时，它可以朝某个方向流动，但是它不能被压缩，也不会膨胀。这一性质由如下方程表达，

假设我们知道 t =0 时的运动状况。而且，这些初始函数假设是良态的（well-behaved）函数。

“良态”是个数学专业术语，但是不影响理解方程。不过，“良态”的精确表达与纳维一斯托克斯问题作为千禧难题的陈述有关。所以，想解决这个问题的人还是需要知道其准确的陈述。

对流体中每一点 P 应用牛顿定律

力 = 质量 × 加速度

欧拉得到了下列方程，把它们与上述不可压缩性方程联立起来，便描述了流体的运动∶

这就是关于流体运动的欧拉方程。为了适用于黏性流体，纳维-斯托克斯引入了一个黏度常数 v，它是流体内部摩擦力的量度，并在方程的右边加了一个额外的力 —— 黏力。

x 方向上，加在方程右边的项是，

y 和 z 方向同理。

在这里，符号

表示二阶偏导数，它是通过首先对 u_x 求关于 x 的微分，然后对所得结果再求关于 x 的微分而得到的，即

在 y 和 z 的情况中，其定义类似。

欧拉方程看上去十分吓人。数学家也觉得力不从心。仔细观察，可以发现，x，y，z 方向的欧拉方程之间的差异很小，而且添加三个额外的黏度项也是基于同一个变化形式。

在 19 世纪，数学家发明了一种符号和一种方法，可以用一种简单的方式来处理有方向的运动。其思想是引入一类新的量，称为向量。向量则既有大小又有方向。使用向量，数学家可以把纳维-斯托克斯方程写得更为紧凑∶

这里，f 和 u 是向量函数，符号

表示向量微积分的运算。

在求解纳维-斯托克斯方程方面的进展实在太小，克莱促进会决定设立 100 万美元的奖金，征求对这个问题的任一变化形式的解答。其中最简单的形式（虽然并不一定是最容易解决的）是说，假设你令作用力函数 f_x，f_y 和 f_z 都为零，在这种情况下你能不能求出函数 p（x，y，z，t）、u_x（x，y，z，t）、u_y（x，y，z，t）和 u_z（x，y，z，t），使它们满足方程欧拉方程的改进版（即包括黏度项），并且足够 "良态"，使得它们看上去能与物理现实相符合？

我要提一下，黏度为零的类似问题（即欧拉方程）也没有解决。

如果把纳维-斯托克斯问题约简到二维的情况（使所有 z 项等于零），这个方程可以解出。但是它对解三维情况没有任何帮助。

完整的三维问题也可以用一种受到高度限制的方式解出。已知各种初始条件，总能找到一个正数 T，使得这方程对 0≤t≤T 的所有时间可解。一般来说，数 T 实在太小了，所以这个解答在现实中并不是特别有用。数 T 被称作这个特定系统的“爆裂”（blowup）时间。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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