诺特定理，最美妙的数学思想之一，把对称的概念推广到了极致

很长一段时间以来，我一直想写诺特定理，但却迟迟没有“动笔”。我觉得现在是时候给自己一个交代了。由埃米・诺特提出的诺特定理，是迄今为止，最美妙的数学思想之一。但它并没有为普通大众所熟知。

爱因斯坦和希尔伯特试图得出广义相对论方程，但挣扎了很长一段时间。因为，在广义相对论之前，存在着这样一个特殊的悖论，悖论是这样的：

如果能量扭曲时空而时空包含能量，那么时空就会扭曲时空。

埃米・诺特解决了这个问题，但她是如何解决这个问题的？

诺特定理

如果宇宙中的一切都被平移到它现在的右边会怎样？我们知道这不会发生。但你还是会问“有什么变化？”，但更重要的是，什么是保持不变的？

这样的思想实验似乎是对时间的无限“滥用”。但在你了解诺特定理后，就不这么想了。通常对诺特定理的理解是：

对称意味着守恒。

但是什么是对称呢？什么是守恒定律？它们是如何联系在一起的？

“对称”在日常用语中指的是一种协调和美丽的比例感。在数学中，“对称”有一个更精确的定义，通常用来指在某些变换下不变的物体，包括平移、反射、旋转或缩放。

就数学而言，当对一个物体进行任意变换而不产生方向变化时，就建立了对称。把一个球绕中心旋转 90 度，得到的结果和开始时一样。这个球体是“旋转对称的”。取一条直线（无限长），向右移动 4 个单位，直线没有变化。这被认为是“平移对称”。这似乎是一个无关紧要的性质，但事实并非如此。

艾米・诺特认为的对称是这样的：

假设这个对象是某个系统，它不断地按照我们的意愿转换。这个“系统”是宇宙的一部分，或者是宇宙本身。我们用 λ 值拉伸所有的距离，或旋转所有的角度。诺特提出的问题是，无论如何，系统是否保持不变？

注意：诺特定理将“对称”限制为连续对称。连续对称是用函数的连续变化来描述的，他们是离散的。球体是连续对称的，而三角形不是。详细请阅读：李代数 —— 物理学中最重要工具之一，一个最简单的解释

首先，诺特对能量特别感兴趣。这里的定义做了一些调整：我们说，如果系统中物体的总能量在任意变换下不改变，那么这个系统就是对称的。例如，如果我分离出一个质量，并将它与一个移位的质量进行比较，能量将保持不变。

所以这个系统被认为是“平移对称的”，因为我们对它做的“任意变换”是向右平移 λ 单位。另一方面，对系统做一个小的改变就可以使这种对称性变得无效。假设在这个系统中有一颗行星。离这颗行星越近的质量，其引力势能就越小；而离它越远的质量，其引力势能就越大。因此，这个系统不被认为是平移对称的。

这就是对称部分。守恒定律是什么意思？简单地说，守恒量就是那些既不能被毁灭也不能被创造的量，只是从一种形式转化成另一种形式。一些守恒量是能量，动量和电荷。

守恒量是指在一段时间内数量保持不变，既不能被创造也不能被毁灭的东西。描述这些量的定律叫作守恒定律。

但是为什么呢？为什么这些量是守恒的？为什么我们不能创造能量呢？诺特定理回答了所有这些问题。它非常准确地解释了守恒从何而来。

具体说，它假定平移对称意味着动量守恒。事实上，如果宇宙中每一颗原子向右移动 1 米，我们就无法分辨出它们的区别。但问题来了。什么时候动量不是守恒的？

让我们假设一个苹果掉下来。如果苹果向地面移动 2 单位，它的重力势会更小，速度会更大。因此，p=mv 在两种情况下并不相同。这个系统被认为是平移不对称的。

但如果我们考虑整个宇宙。将所有东西向左或向右移动几个单位，你不会注意到有什么东西的位置发生了变化。这一定意味着能量是守恒的，因此，动量也是守恒的。重点是平移对称意味着动量守恒。

平移对称 → 动量守恒

但是旋转对称呢？同样的道理。把地球和苹果看作一个系统。但苹果并没有落下，而是绕着地球转。我们说这里的守恒量是角动量。如果这个物体沿着一个球形轨道运行，就像下图所示，那么这个物体在任何给定位置的总能量都保持不变。所以它在这个轴上有旋转对称。

旋转对称 → 角动量守恒

我们已经讨论过空间中系统的变换。但是在时间上平移系统意味着什么呢？换句话说，假设有一个系统，在某一特定时刻 t，与 t + λ 时刻的系统比较。如果系统的能量不变，那么它被认为是时间平移对称的。诺特说什么是守恒的？能量。

时间对称 → 能量守恒

下面的内容，你不需要费心去完全理解，我只是将其展示出来。这是一系列精妙的数学运算得出的最深刻的证明之一。

可以看作是 ε 的函数，计算在 ε'=0 处的导数，利用莱布尼茨法则，得到：

注意欧拉-拉格朗日方程所暗示的：

把这个代入前一个方程，得到：

再一次应用欧拉-拉格朗日方程，得到：

代入前一个方程，得到：

从中，我们可以看到

是一个运动常数，它是一个守恒量。由于

得到

所以守恒量化简为

这就是诺特对自变量的推导。

上面的数学路线包括了一个独立变量的推导。也有类似于早先探讨过的平移和转动不变性。对于量子力学系统，有一个场理论版本，它是现代粒子物理的基础。但还不止于此。从麦克斯韦方程组到广义相对论，你会发现它无处不在。

正如她所假设的，并不是所有的能量都会扭曲时空。只有应力-能量张量中的能量才重要。应力-能量张量是一个数学对象，它包含了所有关于扭曲时空的能量的信息。

张量有 4 种信息。其中两个是“电荷”，是守恒的东西：

1、场的能量

2、场的动量

顺便说一下，这个张量是在这两个之后命名的。它们与粒子的能量和动量完全相似，但对于一个连续的系统：场 → 时空本身。

到目前为止，有 4 个分量：1 个能量，3 个动量（因为动量是一个矢量，它可以在任意的 x, y 和 z 方向上分解）。另外两种类型的信息是“通量”：

1、能量通量

2、动量通量

但是什么是通量？举个例子，我们电磁波携带能量，但是也有动力（这可能不太好理解），因为光子是无质量的，如果 m = 0，那么在 p = mv 中，会得到 p = (0) v。答案比这要复杂一些。重要的是波有动量。通量是在每个方向上流动的能量的精确表达式以及动量矢量在每个方向上流动的量。

这就是能量-动量张量的所有信息。

它不能解释所有问题。它只是概括了物质的引力影响。万有引力耦合了能量和动量以及能量和动量的通量。它不关心它是来自于物质还是电磁场，也不关心它来自于什么物质。重要的是，它是对称的。

这个张量，是将诺特定理应用到一个由时空对称性引起的一般时空变换的结果。

然而，在量子场论中，由于量子效应，诺特定理可以被违反。量子修正所打破的经典水平上的对称性被称为“反常”。反常对称性是标准模型的众多预测之一。下面的文章将探讨对称的违反，以及它们与量子力学的关系。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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