画家们见怪不怪的常用技巧，数学家建了个学科来研究

几乎所有的画家都能熟练地运用透视的原理。因为透视原理能帮助作画者对物体的形态做出正确而科学的观察。

从绘画角度讲，所谓透视就是透过一层直立于人眼与物体之间的平板玻璃来看物体。这时，我们可以把平板玻璃看成画面，在平板玻璃上看到的物体的缩影，就是我们画面所需要的形象。

我国唐代诗人杜甫在成都描写草堂四周的景致时，曾留下一首千古绝句：

两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。

窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。

这首诗实际上是杜甫坐于草堂书屋中，透过门和窗，对外部 环境的透视的精妙描写！

在绘画中，画面上正对作画者眼睛的一点称为心点。凡与画面垂直的直线，都在心点消失。图 (a) 是从上往下看的平面图，图上有 3 条平行的火车轨道，轨道右侧是一排树木。图 (b) 是图 (a) 中人站在“×”点处时的透视图，垂直于画面而伸向远方的树木、铁轨和电线杆，都在心点交合。

在欧洲文艺复兴时期，透视学的成就与绘画史的光彩交相辉映！许多著名的画家，包括多才多艺的达・芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究做出了卓越的贡献。他们的成果很快影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支 ——— 射影几何学。

如下图所示，所谓射影是指从中心 O 发出的光线投射锥，使平面 Q 上的图形 Ω，在平面 P 上获得截景 Ω'。则 Ω' 称 为 Ω 关于中心 O 在平面 P 上的射影。

射影几何学就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。

为射影几何学的诞生奠基的是两位法国数学家：吉拉德・德萨格 (Girard Desargues，1591—1661) 和布列斯・帕斯卡 (BrycePascal，1623—1662)。

1636 年，德萨格出版了《用透视表示对象的一般方法》一书。在这本书里，德萨格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。不可思议的是，对于这种科学上的进步，当时却受到了来自多方面的抨击，致使德萨格为此愤愤不平！他公开宣布，凡能在他的方法里找到错误者，一概奖给 100 个西班牙币；谁能提出更好的方法，他本人愿意支付 1000 法郎。这实在是对历史的一种嘲弄！

1639 年，德萨格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。他论述了 3 种二次曲线都能由平面截圆锥而得，从而可以把这 3 种曲线都看成是圆的透视图形，如图所示。

这使有关圆锥曲线的研究有了一种特别简洁的形式。不过，德萨格的上述著作后来竟不幸失传，直至 200 年后，1845 年的某一天，法国数学家查理斯由于一个偶然的机会，在 巴黎的一个旧书摊上意外地发现了德萨格原稿的抄本，从而使德萨格这一被埋没了的成果得以重新发放光辉！

德萨格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果 2 个空间三角形对应顶点的 3 条连线共点，那么它们对应边直线的交点共线，如图所示。这个定理后来便以德萨格的名字命名。

有趣的是，把德萨格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线” 改为“点”，所得的命题依然成立。即如果 2 个空间三角形的对应边直线的 3 个交点共线，那么它们对应顶点的连线共点。

在射影几何学中，上述现象具有普遍性。一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译：

将得到一个“对偶”的命题。

两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。这便是射影几何学中独有的“对偶原理”。

布列斯・帕斯射影几何学的另一位奠基者是广大读者所熟悉的，数学史上公认 的 “神童”——— 法国数学家布莱士・帕斯卡。他的成就充满着传奇。帕斯卡的父亲也是一位数学家，不知什么原因，他极力反对帕斯卡学习数学，甚至把数学书全都藏了起来。

不 料，这一切反而使爱动脑筋的帕斯卡对数学这一“神秘的禁区”更加向往，并在小小年纪，便独立证明了平面几何中的一条重要定理：三角形内角和等于 180°。

帕斯卡的数学天赋竟使他父亲激动得热泪盈眶，并一改过去的态度。他不仅不再反对帕斯卡学习数学，而且全力支持他，亲自带领帕斯卡去参加法兰西科学院创始人梅森主持的讨论会。当时帕斯卡才 14 岁。

1639 年，帕斯卡发现了使他名垂青史的定理: 若 A、B、C、 D、E、F 是圆锥曲线上任意的 6 个点，则由 AB 与 DE,BC 与 EF,CD 与 FA 所形成的 3 个交点共线! 如图 18.5 所示。

帕斯卡的这个定理精妙无比！它表明一个圆锥曲线只需 5 个点便能确定，第 6 个点可以通过定理中共线的条件推出。这个定理的推论多达 400 余条，简直抵得上一部鸿篇巨著！

不料，帕斯卡的这一辉煌成果，竟引起了包括大名鼎鼎的笛卡儿在内的一些人的怀疑，他们不相信这会是一个 16 岁孩子的思维，而认为这是帕斯卡父亲的代笔!

不过，此后的帕斯卡成果累累：19 岁发明了台式加减计算机；23 岁发现了物理 学上著名的流体压强定律；31 岁与费马共同创立了概率论；35 岁对摆线的研究取得了重大成果……

帕斯卡这一系列的成就，终于使所有持怀疑态度的人折服了！至此，人们无不交口称赞这位法国天才的智慧光辉！

不幸的是，德萨格和帕斯卡这两位射影几何学的先躯，竟于 1661 年和 1662 年先后谢世。此后，射影几何学的研究没有得到人们的应有重视，并因此沉寂了整整一个半世纪，直至又一位法国数学家庞斯莱的到来。

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：张远南、张昶，编辑：张润昕

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