数学的哲学危机，如果存在都是“经验”，那么数学真理如何存在

数学家们相信是他们提供了哲学家思想的源泉。但在 18 世纪，哲学家们都在否认物质世界真理的先驱。在《人性论》一书中，休谟强调，我们既不了解精神，也不了解物质，两者都是虚幻的。我们只接受感觉，诸如印象、记忆和思想等简单的概念只是这些感觉的模糊反映，任何复杂概念都是简单概念的集合。精神实际上只是我们的感觉和概念的集中，除了可以通过直接经验所感知的事物，我们不能假定任何其他事物的存在，然而经验只能产生感觉。

休谟对物质持同样的怀疑态度。谁能保证有一个永远存在的实物的世界，所有我们能够知道的只是我们对这样一个世界的感觉。重复地感知一张椅子并不能证明这椅子确实存在，时间和空间只是我们产生概念的方式和顺序，同样的，因果关系只不过是概念在习惯上的一种联系而已。无论是时间还是空间，或是因果关系，都不是客观实在，我们被自己的感知能力所迷惑，因而相信了这样的实在∶存在一个有确定属性的外部世界。这实际上只是一种无根据的推论，知觉的产生是不可理解的。我们不知道，它是来自于外部事物、心灵深处还是上帝。

人本身不过是单个的感觉和思想的集大成者，他只能这样在着。“自我”就是不同的感知力的汇聚。任何试图了解自己的尝试最终只能导向领悟。所有其他的人和假定存在的外部世界只是某一个人的领悟，而且没有什么能保证他们确实存在。于是也就不可能有任何关于一个永恒的客观的物质世界的科学法则。这样的法则仅仅是一种感觉的合适的总结。更进一步说，由于因果概念并不是基于科学的证明而不过是一种来自于经常发生的“事件”的通常的顺序的思维习惯，所以我们无法了解，过去感知到的事件将来还会不会再发生。这样休谟就否认了自然法则的必然性、永恒性以及不可破坏性。

否认了外部世界遵循固定的数学定律这一信条，休谟也就否认了代表实在的逻辑推理结构的价值。但是数学中也包含着关于数字和几何的定理，其毫无疑问是从包含数字和几何的假设真理中推出来的。休谟并不否认公理，但却贬损它们以及由之推导出的结果。公理来自于对假定存在的物理世界的感知，定理的确是公理的必然结果，却无非是公理的精确复述。它们是推论，但只是隐含在公理中的论断的推理。因此公理和定理，都是同义重复，并不是真理。

由是休谟回答了“人怎样获得真理”这一基本问题 —— 他否认真理的存在，人不可能区别真理。休谟的工作不仅贬损了在科学和数学上付出的努力和得到的结果，还对推理本身的价值提出了质疑。对于大多数 18 世纪的思想家来说，这样一种对人类最高智慧能力的否认是大逆不道的。休谟的哲学对于 18 世纪绝大多数的学者来说是矛盾和令人嫌恶的，而且与数学和其他科学中的惊人的成就是如此格格不入，因此遭到了驳斥。

历史上最受尊敬的可能也是最深邃的哲学家康德发起了这一挑战。但是对康德殚精竭虑所提出的结论进行仔细推敲后发现其并不比其他人的更令人信服。在他的《未来形而上学导言》一书中，康德看来确是站在科学家和数学家一边∶

我们可以确切地说纯粹的先验的综合知识，纯粹数学和纯粹物理学是真实存在也是先天既定的，二者都包含一些被广泛承认、绝对肯定的命题，…… 而且是独立于经验的。

在他的《纯粹理性批判》一书中，康德甚至使用更为确信的词语作为开头，他肯定所有的数学公理和定理都是真理，但是为什么？康德自问道。他愿意接受这样的真理吗？显然经验本身并不足以证明它们的有效性。如果你能回答一个更大的问题：数学确实是一门科学吗？你也就能回答这个问题了。康德的回答是∶时间和空间的形式依我们的心智所定，所谓时间和空间只是我们感知的一种模式。这种感知（康德称之为直觉）的模式由心智对待经验的方式决定。我们依据这些智力形式去感知，组织和理解经验。心智将这些方式加到感觉、印象上去使感觉与内在的模式相吻合。

既然空间的直觉来源于心智，那么心智自动地接受空间的某些属性，诸如直线是两点间的最短路径，三点确定一平面以及欧几里得的平行公理。康德称这些真理为一个先验的假设的真理，它们是我们心智构成的一部分。几何学的科学性恰恰在于其揭示了这些真理的逻辑推断，心智正是通过“空间结构”来对待经验这样一个事实说明经验与基本原理和定理是一致的。我们自认为感知到的外部世界的秩序和理性是由我们的精神和我们的思考方式加诸其上的。

康德既然从人的大脑创造出了空间，那他也就看不出有什么理由不让它是欧氏空间。他不能构想出其他的几何空间。这促使他相信，不存在别的空间，由此欧氏几何定理既不是宇宙中固有的，也不是由上帝设计出来的，它是使人的感性认识条理化、理性化的作用结果。至于上帝，康德说上帝的本质不在理性知识范围内，但我们还是应该相信上帝。康德在几何上的轻率超过他在哲学上的大胆。他没有到过离东普鲁士城市哥尼斯堡他的家 40 英里以外的地方，然而他却假定他能决定世界的几何形状。

科学的数学法则又是如何呢？由于所有的经验都是时间和空间的精神框架所构成的，数学一定吻合于所有的经验。在《自然科学的形而上学基础》中，康德承认牛顿定律及其推论是不证自明的。他宣称已经证明了的牛顿运动定律可由纯粹推理导出，而且这些定律也是唯一能使自然界被理解的假设。他说，牛顿所给予我们的，对宇宙如此清晰的领悟，永远也不会改变。

更一般地，康德认为科学的世界是一个由精神所组织和控制的，与内在的范畴，诸如空间、时间、因果以及物质等相一致的感官印象的世界。精神包含客体必定符合的结构。感官印象确乎来自于真实的世界，然而不幸的是，这个世界是不可知的，所谓实在只是借助于感知，通过主观分类所了解的。因此除了欧氏几何和牛顿力学，没有别的办法来使经验条理化。随着经验的增加，新的科学的形成，心智并不会从这些新的经验中提取并形成新的原理。而是将沉睡的心智部分唤醒来解释这些新的经验。心智的观察力是靠经验来启发的，这就解释了为什么有些真理譬如说力学定律发现得相当晚，而有些则在几个世纪前就为人们所知了。

康德的哲学几乎是毫不掩饰地推崇理性，然而他认为理性的作用不在于对自然界的探索，而在于开发人类心智荒芜之处。由于来自于外部世界的感知提供了精神组织的原始材料，因此经验就作为知识的必然因素而被认可，而数学就是精神的必然法则的揭示者。

数学家们是习惯于“数学是一个先验真理的体系”这一论断的，但大多数人并没有对康德是如何得出这个结论给以足够的注意。否则他的学说（数学家所证明的并非是物质世界固有的，而是来自于人类的精神），会使所有的数学家停止工作。我们实际中所固有的与所感觉的是同一结构吗？这种空间的感知结构一定是欧氏的吗？我们如何知道这一点呢？与康德不同的是，数学家和物理学家仍然相信存在一个受独立于人的精神的法则支配的外部世界。人只是揭示其设计规律并用来预测在这个外部世界中将要发生的事情。

康德的学说既有解放思想的一面，也有束缚思想的一面，由于强调了精神能够组织，我们并不真正了解的世界中的经验，他为创建与当时人们坚信的概念相反的概念打下了基础，但由于他坚持依照欧氏几何法则来组织空间感知，他阻碍了其他观点的接受。如果康德对同时代的数学家的工作多加关注，也许他对这一观点不会那样固执己见了。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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