几何简史 —— 带你回顾让你又爱又恨的几何

“几何”(Geometron) 一词源于希腊语。"Geo" 意为 "地球"，"metron" 意为 "测量"。起初，几何只是为了理解事物如何在空间中组合在一起。

早在公元前 3000 年左右的远古时代，几何学就已经出现。印度河流域和巴比伦等地的人们通过计算长度、角度、面积和尺寸来解决日常问题，如建造房屋、观测星象和制作工艺品等。令人惊叹的是，早在毕达哥拉斯等著名数学家出现之前，这些人就已经在做一些非常超前的事情了。

古埃及人用下面的公式近似估算圆的面积：

阿赫米斯手抄本第 50 题采用了这种方法，假设 π 为 4×(8/9)²(约 3.160493......)，误差约为 0.63%。而由巴比伦人得出的近似值 (25/8 = 3.125，误差在 0.53% 以内) 比阿赫米斯手抄本中的假设更为准确。阿基米德后来将 π 近似为 211875/67441（约 3.14163），误差略高于万分之一。埃及人还有第二个 π 值，约为 3.111，是利用不规则八边形从阿赫米斯手抄本中问题 48 中得到的。

《莫斯科数学手抄本》中的问题 14 描述了求金字塔锥体体积的正确公式。

在古印度的吠陀时期，几何被用来制作复杂的祭坛。公元前一千年左右的《梵书婆罗门》（Satapatha Brahmana）和《舒尔巴经》（Śulba Sūtras）等资料记录了印度人对几何的理解。尤其是《舒尔巴经》，它记录了对勾股定理 (毕达哥拉斯定理) 最早的一种解释，尽管巴比伦人在此之前就已经知道了。这些文字列出了勾股数 (毕达哥拉斯三元数组)，并讨论了与内切圆和外接圆有关的近似值。

最古老、最著名的《宝积经》（Baudhayana Sulba Sutra）用简单的勾股数阐述了正方形和长方形的勾股定理。

巴比伦人也有一些很酷的数集，但印度的《舒尔巴经》更多是对利用几何来制作祭坛和解决实际问题的记载。还有另外两部《舒尔巴经》，即《摩那婆舒尔巴经》（Manava Sulba Sutra）和《阿帕斯坦巴舒尔巴经》（Apastamba Sulba Sutra），其中的数学内容与《宝陀耶那舒尔巴经》（Baudhayana Sulba Sutra）类似。这些印度古籍中的智慧思想与同一时期巴比伦人在数学方面所做的事情有些相像。就好像他们在世界的不同地方探索相似的数学概念。

几何学在古希腊数学家中占有特殊的地位。米利都的泰勒斯被认为是第一个使用数学演绎法的人，以著名的勾股定理闻名于世的毕达哥拉斯也在几何学方面做出了重大贡献。

"经验表明，学过几何的人比没学过几何的人更快掌握难懂的知识"。

—— 柏拉图

尽管柏拉图本人并不是数学家，但他在这一领域留下了浓墨重彩的一笔，他对测量工具并不感兴趣，而专注于使用圆规和直尺等工具来作图。他的思想激发了人们对几何图形构造问题的大量探索，最终导致了关于实数的重要发现。亚里士多德是柏拉图的学生，他在柏拉图的基础上写出了逻辑推理的方法，这在很长一段时间内对数学研究都非常重要。

欧几里得是公元前 325-265 年左右亚历山大的一位学者，著有《几何原本》，共 13 册。这部著作以理想化的公理形式展示了几何学，即现在的欧几里得几何学。

欧几里得的五个基本思想就像搭积木，他用图像来解释数学概念，这有点像用图形讲故事。托托勒密一世国王的福，欧几里得有机会在埃及亚历山大的一所著名学校工作。

阿基米德通常被认为是希腊最伟大的数学家。除了数学之外，他还是一位出色的物理学家、工程师和发明家。他的数学贡献包括类似解析几何坐标系和求微积分极限的方法。

阿基米德时代之后，希腊数学的热潮逐渐消退，几何学的狂热时期也随之结束。大约在那个时候，普罗克洛斯（410-485 年）脱颖而出，成为那个时代几何学领域最后的几个重要人物之一。

他不仅擅长数学。他还非常善于解释和评论前人的工作。遗憾的是，当时的许多原始数学知识都随着岁月的流逝而失传了，我们只能依靠普罗克洛斯的解释来了解他们当时在做什么。

巴赫沙利手稿包含几何问题，例如与不规则固体体积有关的问题。它还采用了十进制计数系统，用点代表零。

婆罗门古普塔（Brahmagupta）在 628 年左右写成的天文学著作《婆罗门悉达论》（Brāhma Sphuṭa Siddhānta）中介绍了许多有趣的数学思想。第 12 章讲述了立方根、分数、比率和交易等基本知识。它还涵盖了实用的数学主题，如把东西混合在一起、找出数字中的规律、处理形状，甚至是堆砖或堆谷物等任务。其中一个突出的观点是婆罗门古普塔（Brahmagupta）关于圆内接四边形对角线的定理。

"代数不过是文字上的几何；几何不过是图形上的代数"。

—— 苏菲・热尔曼

伊斯兰几何更注重代数，而不仅仅是形状。穆斯林数学家在代数、数字和系统方面都很出色。尽管他们专注于代数，但仍在几何和天文学中加入了很酷的东西。

有一位了不起的学者，名叫穆罕默德・伊本・穆萨・瓦里兹米 (Muhammed ibn Mūsā al-Ĵwārizmī)。他提出了算法这一数学技巧，后来帮助创造了计算机。他的追随者们利用这些技巧改进了代数学，创造了多项式代数等。

卡拉吉（Al-Karaji）将代数学和几何学分离，并引入了我们今天使用的算术运算类型，从而进一步推动了几何学的发展。11 世纪初，伊本・海赛姆（Alhazen）首次尝试使用一种名为 "反证法" 的技术来证明欧几里得的平行公设。

他在几何学中引入了运动和变换的概念。另一位天才奥马尔・海亚姆（Omar Khayyam）提出了通过抛物线与圆相交来解三次方程的一般方法。他还发现了二项式展开法，并对欧几里得关于平行线的一些观点提出了质疑，这些观点后来在非欧几何的发展中发挥了作用。奥马尔还找到了用几何方法解代数方程的方法。

你猜怎么着？伊斯兰教徒不仅用几何这种数学来计算数字，他们还用它来为建筑物做出令人惊叹的设计，比如瓷砖和图案。这是数学和艺术的结合，看起来令人惊叹！

现在，让我们把目光转向中国。中国最早的几何学巨著叫做《墨经》。它是思想家墨子著作的一部分，墨子生活在公元前 470-390 年左右。《墨经》是他的追随者在公元前 330 年左右整理出来的。它谈到了一些超前的几何知识，这些知识可能是建立在更早的思想基础上的，但遗憾的是，由于秦朝焚毁了许多书籍，我们已经失去了这些更早的记载。在《墨经》中，他们将几何中的点定义为一条直线的最小部分，这与欧几里得和柏拉图的观点类似。他们还谈到了长度的比较、永不相交的直线（如平行线）以及空间的运作方式。

之后，到了汉朝，中国人又开始研究数学，并写出了像《算术书》这样的书。这本书讲述了几何学中一些有趣的观点，比如事物以可预测的方式生长。

一个名叫张衡的人曾尝试估算圆周率，后来祖冲之得到了更好的估计值。中国的这些数学探险增加了世界对数字和图形的理解。

17 世纪初，数学界发生了两件大事。首先，勒内・笛卡尔（René Descartes）和皮埃尔・德・费马（Pierre de Fermat）联手创造了一种使用坐标和方程的新几何学。这就像是在图形上添加数字来解决问题。随后，另一位名叫吉拉德・笛沙格（Girard Desargues）的数学家对投影几何产生了浓厚的兴趣，投影几何的核心是在不测量距离的情况下研究点如何排成直线。

17 世纪末，另外两位聪明人艾萨克・牛顿（Isaac Newton）和戈特弗里德・威廉・莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz），将微积分这一很酷的数学工具，变成了更强大的分析工具。它并不完全是几何学，但对解决几何问题非常有帮助。

到 18 世纪和 19 世纪，许多聪明人试图证明几何中的平行线法则，但他们无法破解。一些思想家，如奥马尔・海亚姆（Omar Khayyam），开始质疑线的行为方式，并提出了不遵循旧规则的新型几何。19 世纪，卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss）、约翰・博尔亚伊（Johann Bolyai）和洛巴切夫斯基（Lobatchewsky）等人意识到，这条法则实际上可能无法证明。他们证明这条法则是错误的，并由此产生了一种不拘泥于通常规则的全新几何类型。1854 年左右，伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann）师从高斯，利用数学技巧创造了基于光滑形状的几何学。这后来成为爱因斯坦相对论的关键部分。

进入 20 世纪后，代数几何开始大行其道。安德烈・韦尔（André Weil）、亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）和让・皮埃尔・塞雷（Jean-Pierre Serre）等数学奇才致力于用一种特殊的数学方法来研究曲线和曲面。他们的工作帮助我们了解了更多关于形状以及数字如何描述形状的知识。

"方程只是数学中无聊的部分。我试图从几何的角度看问题"。

—— 斯蒂芬・霍金

作者：Areeba Merriam

翻译：小聪

审校：*0

原文链接：A Brief History of Geometry

本文来自微信公众号：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Areeba Merriam

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