本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：董唯元
二维共形场理论一直是重要的理论物理前沿研究工具之一，尤其是其中的刘维尔共形场理论，更是与量子引力存在着千丝万缕的直接联系。借助共形自举方法，刘维尔共形场已经可以非微扰的精确求解。然而，它的关键方程竟然是猜出来的，直至最近几年，数学家才给了出严格的证明。数学家与物理学家，对量子场论的深意又多了一点了解。
量子引力理论是物理学界公认的圣杯，一直吸引着我们这颗星球上最顶级的一批智慧头脑为之不断探索。如今聪慧的科学家早已能够驾轻就熟地应用量子理论和广义相对论，乃至日常生活都能发现它们的身影，然而隐藏在这两个理论背后的宇宙奥秘，却仍然显得那么渺远难测。
2003 年的时候，美国物理学家，圈量子引力的奠基者之一，李・斯莫林（Lee Smolin）曾在他的科普著作《宇宙的本源》（Three Roads to Quantum Gravity）结尾处乐观地展望：“到 2010 年，至多到 2015 年，我们应该已经拥有量子引力理论的基本框架…… 在拥有这个理论的 10 年之内，能够检测它的新型实验将会被发明出来…… 到 21 世纪末，全球的高中生都将学习引力的量子理论。”如今回望，斯莫林的预言显然过于乐观了。
也许最能体现量子理论与引力理论之间鸿沟的，就是宇宙暗能量这个概念。依照广义相对论，加速膨胀的宇宙昭示着真空具有能量，也就是爱因斯坦方程中的“宇宙常数”不为零。同时依照量子场论，真空也具有非零的能量，这已经被卡西米尔效应（Casimir effect）实验所证实。如此看来，两个理论似乎都不约而同地给出了真空能量，然而实际上二者给出的数值相差了 120 个数量级！注意不是 120 倍，而是 120 个数量级，也就是 10120倍。企图用真空零点能解释宇宙常数的努力，成了物理学中最离谱的猜测。
然而我们的宇宙不可能有两种真空，于是“宇宙暗能量”这个概念就被提了出来，以弥合两个理论对真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以称之为“暗”，就是因为它既不在量子理论框架之内，也不能由引力理论解释。这个占据宇宙总能量 70% 的神秘缺口，或许只能等待未来的量子引力理论去缝合。
在探索量子引力的道路上，充满了现有数学工具难以逾越的障碍，于是研究者们一边努力构建新工具，一边也在尝试简化问题的迂回方法，二维模型就是最为常用的迂回手段之一。
将高维降至二维最显而易见的好处，就是运算处理的大幅度简化。比如，在二维平面内，几次转动操作之间可以随意地交换顺序，最终的操作结果并不会因顺序的改变而受到影响。而在三维或更高维的空间中，多个转动操作之间不能随意交换顺序。可见二维空间比高维空间所受的限制更少，在处理复杂计算时可以腾挪的余地也就更大。
当然转动操作只是一个不入流的例子，研究者们真正青睐的是一种名为“共形变换（Conformal transformations）”的操作。这种操作也称“保角变换”，顾名思义就是在扭曲变形的时候能够保持任意两条线的夹角不变。比如下图所示的这个变换，就是个典型的共形变换。在变换之后，每根蓝色线与每根红色线仍然保持垂直。
如果你是第一次听到“共形变换”这个名词，也不要被这唬人的名字吓到。看看上图中那些弯曲的线条，是否让你联想到中学课本上的电场线和磁场线？再回想小时候用纸上的铁屑显示磁力线的那个小实验。其实，当你手握两块磁铁随意移动时，纸上那些铁屑图案的变化，正是一种共形变换。
物理学家在研究场的时候，非常需要共形变换的辅助。每一个共形变换中的不变量，本质上都是一种对称性的体现，就像镜像反转或空间平移的对称性一样。而对称性正是物理学家最喜欢的内容，每增加一个对称性，物理学家就可以多写出一条约束系统的方程。未知数的个数没有增加，而方程的数量增加了，求解出答案的希望当然也就随之增加了。
各种共形变换和共形对称性是如此的重要，以至于 CFT（共形场理论，Conformal field theory）已经成为一门应用广泛的基础科目。不仅在量子场论和引力理论中，而且在凝聚态物理和热力学等理论中，都是不可或缺的重要工具。尤其是在 20 世纪末 Ads / CFT 对偶关系被发现之后，CFT 的重要程度又进一步提升。
虽然共形场不仅限于二维，但对急于求解方程的研究者来说，二维共形场无疑是最友善的对象。因为只有在二维面上，才有无限多种共形变换，而在更高维度的空间中，只能存在有限种共形变换，所以二维共形场所蕴含的威力尤为强大。有些情况下，研究者甚至可以抛开其他因素，仅依靠这些对称性本身，就足以进行精确求解。
早在 20 世纪 70 年代，俄罗斯物理学家 Alexander Polyakov 就被二维共形场的强大威力所吸引，提出了一种全新的求解量子场的方法 —— 共形自举（conformal bootstrap）。这种方法的基本思想，是把求解过程拆解为逐级爬楼梯。先选定一个三点结构作为基础，然后再增加第四个点，继而增加第五个点…… 这样求解的过程表面看似繁琐，实则却解决了一个困扰专业人士已久的难题。
传统求解量子场的基本思路，或直接或间接地继承自古老的分析力学和经典场论，即从拉格朗日量或者哈密顿量出发展开运算。其中用到的正则量子化和费曼路径积分等技巧，也是以拉氏量和哈氏量为基础。这套方法非常皮实耐用，许多关键环节已经被古圣先贤们反复打磨铺垫就绪，对后来者的我们来说，几乎就剩下代入具体情况无脑傻算。
然而这个套路在量子场论中却有个缺陷，那就是场之间的相互作用不能太强，最好是完全没有相互作用的自由场。这就好比一套求解物体运动状态的方法，其实只能求解匀速直线运动。当处理匀速圆周运动时，就把那个垂直于运动方向的加速度当作一个高阶修正项补充进来。而如果遇到变速圆周运动，就得再补充更多的修正项。
这种补丁摞补丁的做法，专业术语上称为“微扰”。意思就是说，把所有场间相互作用和其他约束条件，都看做对自由场的“微小扰动”，由此所产生的效果，都只体现在那些修正项中。显然，当我们遇到非常强的相互作用时，微扰方法就会失灵，不能提供符合实际情况的结论。
而前面提到的共形自举方法，则是一种非微扰的套路，可以求解许多强耦合的量子场。在 20 世纪 80 年代初，Polyakov 和他的两位合作者 Belavin 和 Zamolodchikov 共同发表了一篇重要论文，论文中给出了求解一系列二维共形场的框架，向研究者们展示出这一方法的强大力量。自此，以三位作者命名的 BPZ 方程，就成了 CFT 发展历程中的一个里程碑。
从 N-1 个点迈向 N 个点的 BPZ 方程长成下面这个样子：
看不懂也没关系，本文也没打算真的解释这个方程的含义，列出这个方程纯粹是为了满足部分读者的好奇心。顺便显摆作者使用搜索引擎的能力。
沿着 BPZ 方程所搭建的梯子，许多传统微扰手段无法挖掘的宝藏，现在都可以用共形自举来挖掘。在这些宝藏之中，有一个特殊的二维共形场与量子引力理论关系非常密切，它就是“刘维尔场（Liouville field）”。
作为一个二维共形场，刘维尔场当然是个如假包换的量子场。同时，刘维尔场的经典极限，又自然地给出爱因斯坦方程的二维版本。所以，刘维尔场自身就是一个漂亮的二维量子引力理论。不仅如此，刘维尔场还可以描述玻色弦在二维面内的激发，从而可视为弦理论所构建的量子引力模型中的一部分。另外，透过 Ads / CFT 对偶关系，刘维尔场还是一个三维弯曲时空内的引力描述。
上面一段话可能会让非理论物理专业的读者有些晕头转向，其实抛开所有专业术语来说，就是与量子引力理论相关的许多项研究中，都会闪现刘维尔场的身影。所以我们凭感觉就会知道，这个刘维尔场必定与量子引力的关系非常密切。要想了解量子引力的更多秘密，刘维尔场肯定是个极有价值的切入口。
既然有共形自举这个利器在手，刘维尔场的求解似乎唾手可得，可是这里面还有一个难题阻碍着研究的进展，那就是 BPZ 阶梯起步的那个三点结构必须精确表述，同时还得满足一系列约束条件。如果只是用路径积分和微扰方法来计算，就从源头上失去了“非微扰”的主旨。然而这个结构常数的寻找，却颇费了一番力气。直到 20 世纪 90 年代，才有两组研究者不约而同地给出了确定这个结构常数的公式。这个公式被命名为 DOZZ 公式，代表两组研究者 Dorn、Otto 和 Zamolodchikov、Zamolodchikov。
这里没有笔误，后面两位确实都姓 Zamolodchikov，其中一位就是 BPZ 中的那个“Z”，全名是 Alexander Zamolodchikov，另外一位是他的孪生兄弟 Alexei Zamolodchikov。顺便提一句，BPZ 那三位虽然姓氏不同，但名字都叫 Alexander，也是挺有意思的巧合。
说回 DOZZ 公式，借助这个公式作为起点，研究者终于可以求解刘维尔场的关联函数。但是这个 DOZZ 公式的来历，还是令人不够满意。因为这个复杂的公式竟然不是被推导出来，而是被生生猜出来的，可谓继承了顶级物理学家的优良传统。在 1996 年所发表的论文中，作者 Zamolodchikov 兄弟直接坦白地承认：
“需要强调的是，本节的论证与推导无关。这些更像是某种动力，我们将提出的表达式作为一种猜测，在随后的章节里我们会尝试证实这种猜测。这个猜测看起来十分自然，甚至可能被那些关注这个问题的人认为是显而易见的。”
（ “It should be stressed that the arguments of this sectionhave nothing to do with a derivation. These are rather some motivations and we consider the expression proposed as aguesswhich we try to support in the subsequent sections. This guess appears quite natural and might even be thought obvious to those concerned with the problem.” ）
如果不能从逻辑上严格推导出这个公式，就说明我们还没有真正理解它的意义。即使它能在刘维尔场的具体计算上帮我们许多忙，但终究难以提供揭示物理世界本质的作用。
于是，一些研究者又开始努力研究，试图弄明白 DOZZ 公式到底能从哪个角度推导出来。这项任务的难度超出了许多人的预期，在 DOZZ 公式提出后的十多年里，一直没有明显的进展。直到 2014 年之后的几年间，才陆续出现了几篇论文成果。
这些近几年得到的 DOZZ 公式证明过程，都颇具跨界味道，使用了概率论方面的语言和工具，主要包括 GMC（Gaussian Multiplicative Chaos，高斯倍乘混沌）和 GFF（Gaussian Free Field，高斯自由场）。
从这些证明中，我们也收获了许多新的认识。原本以为随机涨落导致的引力场自身强耦合，必然无法与路径积分调和，然而借助一些来自概率论的工具，竟然可以将那些涨落的毛刺打磨得足够光滑，并顺利地兼容路径积分。
当然，物理学家们的目标绝不仅仅是驯服二维平面内那些野蛮涨落的引力，而是携驯服经验和工具出征，正面迎击真实时空中的引力。
附：
DOZZ 公式的样子：
其中
更直观的写法是
这么复杂的公式居然是靠感觉猜出来的！这是多么强大的直觉！
参考文献
[1] Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2017). "Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula". arXiv:1707.08785 [math.PR].
[2] Vargas, Vincent (2017). “Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula”. arXiv:1712.00829 [math.PR]
[3] A.B.Zamolodchikov; Al.B.Zamolodchikov (1996).“Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory". DOI: 10.1016/0550-3213(96)00351-3. arXiv:hep-th/9506136
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