明明都是无理数，为什么 π 的名气比 ta 大这么多？

在数学王国中，有 5 个数非常重要，它们所包含的内容和所承担的作用，远远超过了数值的本身，因而比一般数字显得更为神秘，这 5 个数就是 0、1、π、i 和 e。

像 π 一样，e 也是一个无理数。它的数值是 e=2.718281828459… 无限而不循环。

在一开始，它偶然出现在计算结果里，但随着科学的发展，人们逐渐发现 e 的用处很多，特别是如果以它为“底”取自然对数时，可以使很多的算式得到简化，到了后来，它的应用就更加广泛了。可以说，e 包罗万象！

真正把 e 引入到数学研究中来的是瑞士数学家雅各・伯努利。

1654 年 12 月 27 日（这是出生时的旧历，如果按新历算应为 1655 年 1 月 6 日）雅各布・伯努利出生于瑞士巴塞尔的一个商人家庭。

在科学史上，伯努利这个家族可真称得上是学者云集。祖孙三代中，出了 8 位世界级的著名数学家。在这 8 人中，还兼有物理学家、天文学家和地理学家。

他们的成果包括：无限级数计算、微积分和微分方程运算的开创者，统计学概率论的开拓者、“大数定律”的创建者，在无限不确定性抉择难题中，那个令人头疼的“圣・彼得堡悖论”的提出者、流体力学“伯努利定理”的创建者，曲线研究的著名学者等。

自青少年起，雅各就对数学和天文学产生了浓厚的兴趣。1676—1682 年这 6 年间，为学习当时最先进的数学和科学，他游学于整个欧洲，先后跟随罗伯特・波义耳和罗伯特・胡克、克里斯蒂安・惠更斯、笛卡尔等多位大师从学，精读了弗兰斯・万・叔本华、伊萨克・巴罗和约翰・瓦利斯的论文和著作。

1687 年，雅各担任巴塞尔大学的数学教授，以后终生工作在这里。1685 年，雅各出版了逻辑学和概率学的书，1687 年，又出版了一本几何学，在这部书中，他证明了任意三角形可以被两个彼此垂直的线分割成面积相等的 4 块。1682 年和 1704 年，雅各共发表了 5 篇关于无限数列研究的论文，1689 年又发表了最重要的无限级数研究成果以及统计学中的大数定理等。

1683 年在研究无限级数时，雅各曾讨论过一个有趣的“复利”问题，竟然从结果中发现了 e！

复利问题本是人们日常生活中常遇到的事，例如存入银行一笔钱，到期以后，本金加利息一并变成新的本金按原来的利息接着续存，这就叫 “复计利息”，简称“复利”。一般人可能以为，照这样存法，无限地存下去，盈利会越来越高，以致达到无穷。

但经雅各计算，情况却并非如此。他把这个问题编写成一个无限级数，从中证明出，如果当初存入的钱数是 1，当存的次数无限多时，盈利的总和竟然趋向一个有限的值，而这个值就是 e! 1690 年，伯努利把这个结果发表在他的系列论文中。

此后很多年的 1731 年 11 月 25 日，大数学家里昂哈德・欧拉在写给数学家克里斯蒂安・哥德巴赫的信中谈到了 e 这个数，并给它起了个名字，叫它“自然数”，并把它作为对数的“底”取对数，从此有了自然对数。e 公开出现是 1736 年欧拉发表在《力学》杂志上的一篇论文里，在此以后，e 开始在数学上有了自己的位置，并作为一个标准常数被引用起来。

令雅各惊讶的是，e 这个奇特的数不只出现在他所计算的“复利”中，还屡屡地出现在其他无限级数求和，例如∑(1 / n)、∑(1 / n 的 2 次方) 的级数求和中；此外在概率的计算中，雅各还发现了一个无限级数求和的值是 e 的倒数；接着在一个被称作“帽子保管问题”的无限级数求和中，这个 e 值又再次出现了。

“帽子保管”问题曾是当时数学界都感兴趣的话题，由于引入了 e 值，使得雅各最终把它计算出来。这个问题非常有趣，它说的是，有很多客人被邀请去参加一个聚会，每个人进屋前都要把帽子交给看门人，由他把帽子放到各自的箱子里。本来在每个箱子上都标好了客人的名字，帽子应该对号入座，但是这位看门人并不认识这些客人，他放帽子的时候就随意乱放，并没有按照名字放到该放的箱子里。

于是，问题就出现了，取帽子的时候，所有客人最多需要选多少次，才能把各自的帽子找出来呢？当然，第一位取帽子的人是最困难的。这也是一个级数求和的问题。当客人数趋于无限大时，在雅各的计算结果中，惊现出了 e。接着，在标准正态分布的计算中，他再次发现了 e 值。在雅各数学研究的后期，他非常喜欢研究各种曲线，包括抛物线、双曲线和螺旋线等。研究双曲线函数 y=1 / x 时，在计算曲线下所包含的面积时，又与 e 值相遇。

后来雅各研究螺旋线，再一次与 e 不期而遇。螺旋线有 5 种形式，对数螺旋、阿基米德螺旋、连锁螺旋、双曲螺旋和回旋螺旋，其中对数螺旋是自然界中最普遍存在的。在研究对数螺旋线时，雅各发现了一个非常有趣的现象，对数螺旋线的渐近线也是对数螺旋线，而在对数螺旋线各点切线的极点也构成了对数螺旋线，在一种螺旋结构中，居然蕴含着多个层次的螺旋结构，这一绝妙特点，使他惊叹不已！

对数螺旋线也深受艺术家们宠爱。英国著名画家和艺术理论家荷迦兹曾深切感到，逐渐向中心收缩的螺旋形有其难以言表的美！

螺旋线常出现在名画中或先人留下来的壁画中，它们代表了先人对整个宇宙的想象，也宣示了心中对美的感受，而主导螺旋线形体的正是 e! 看来人类对螺旋线的宠爱有其内在的数学原因。

在生物学中，海螺壳的结构、向日葵种子的排序、人的指纹和发旋都呈现出螺旋的特点。

作为生命现象基础物质的蛋白质，在参与生命体的整个过程中，它的功能如此高效，其奥秘也与它的螺旋结构有关。蛋白质的多肽链条就是螺旋状的，决定遗传的物质 —— 核酸结构也是螺旋状的，而这些螺旋结构中的奥秘都是由 e 在左右着。

e 同样出现在物理学中，在不知不觉中掌控着自然命运的热力学第二定律中存在着 e；在自然界中，从螺旋星云和螺旋星系、台风飓风的气流形，到一缕青烟袅袅上升、老鹰在空中翱翔，都有 e 的存在；当一首乐曲听起来很美时，仔细研究，也能从节律中找到 e；乐音为人所宠爱，而“乐音”产生的空气振动也是一种螺旋尾迹；甚至人类经过漫长岁月的进化，其听觉器官内耳的结构也是螺旋状。

似乎 e 包罗世界万象，无所不在。在人类所宠爱的核心中总是 e 在起着作用。尽管所在的处所不同，却殊途同归地都与这个自然数 e 挂上了钩。

1690 年，在雅各刚引入 e 时，他对 e 的估计值仅到小数点后面的第一位；到了 1748 年，欧拉使用这个值时，它已经精确到了小数点后的第 23 位；1949 年，美国物理学家约翰・冯・诺依曼，利用计算机，把 e 计算到了小数点后第 2010 位；到了 2010 年 7 月 5 日，e 向世人现出了更为清晰的面貌，到达了小数点后的第 1 000 000 000 000 位！有一点可以肯定，无论经过怎样的艰苦努力，人类也不可能看到它的“真值”。看来，自然界之所以不可能完全清晰地显现出它的真实面貌，其内在原因之一就蕴含在像自然数 e 和 π 这样的无理数中，这就是大自然的神秘所在！

在雅各的一生中，他最为挚爱的就是对数螺旋线，他认为这是最具有魔力、也是最令人向往的神秘图线，他要求把这个曲线镌刻在他的墓碑上，并用拉丁语注明他的愿望：“我将变成相同的样式复现而出。”

雅各的“灵魂”伴随着 e，隐身在他所宠爱的双曲螺旋中！

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：魏凤文、武轶，编辑：张润昕

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