数学的迷人之处在于，它以令人惊奇的方式解释我们的世界

上帝是数学家吗？这个问题令那些最伟大的数学家（哲学家）苦苦思索了几个世纪。正如英国物理学家詹姆斯琼斯曾指出的 ∶ “宇宙似乎是由一位理论数学家设计的。” 数学似乎不仅是描述和解释整个宇宙最有效的工具，而且可以用来解释最复杂的人类活动。

今天，几乎任何一个领域都要使用数学。是什么赋予数学如此令人难以置信的力量？

数学，这个独立于人类经验存在的人类思维产物，怎么会如此完美地与物理现实中的物质相一致？—— 爱因斯坦

上千年来给人以深刻印象的数学研究和广博的哲学思考，都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。比如，著名的牛津数学物理学家罗杰・彭罗斯意识到，人类周围并不是仅有 1 个世界，而应该有 3 个神秘世界。按彭罗斯的划分，这 3 个世界是∶意识感知的世界、物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。

对彭罗斯而言，和精神世界和物理世界一样，这个世界也是真实存在的。物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。其次，人类洞察性思维本身似乎来自于物理世界。思维究竟是如何从物质中产生的我们是否能够将思维的工作机理上升为一种理论，如同今天的电磁场理论那样条理清晰、令人信服？最后，这 3 个世界神秘地联到一起，形成了一个闭合的圆。通过发现或创造抽象的数学公式和概念，并将它们清晰地表达出来，洞察性思维才得以奇迹般地进入数学王国之中。

利用数学成功解释我们周围的世界，实际上可以从两个方面去认识，它们都同样令人惊奇。第一，是其 "主动" 的一面。当物理学家在自然的迷宫里迷失方向时，数学会为他们照亮前方的道路，他们使用和创造的工具、建立的模型，和他们所期望得到的解释，所有这些都离不开数学。苏格兰物理学家麦克斯韦在 19 世纪 60 年代拓展了经典物理学范畴。他仅仅使用 4 个数学公式，就解释了所有已知的电磁学现象。爱因斯坦的广义相对论更使人惊叹，它是极度精确与自相一致的数学理论中的一个完美范例，这个理论所揭示的正是如时空结构一类的基础事物。

第二，是其“被动”的一面。数学家研究探索数学概念以及各种概念之间的关系时，有时仅仅是出于理论研究的目的，绝对没有考虑过理论的实用性问题。但是在几十年后（有时甚至是几百年后）人们突然发现，他们的理论出人意料地为物理现实问题提供了解决方案。哈代是一位研究纯理论的数学家，他的一项研究成果被命名为哈代 — 温伯格定律，该定律是遗传学家研究人口进化的基础。哈代 — 温伯格定律说∶如果一个基数很大的人口群体随机婚配（没有人口迁移、基因突变和选择性婚配），基因构成将保持恒定，而且不因世代变化而变化。表面上，哈代研究的是抽象的数论，却出乎意料地被发现能解决现实问题。

1973 年，英国数学家克利福德・柯克斯・利用数论在密码学领域取得了突破性进展。但哈代曾说∶“任何人都不可能把数论用于战争。”很明显，密码学在现代军事信息传递中绝对不可或缺。

这还只是冰山一角。乔治・弗里德里希・伯恩哈特黎曼在 1854 年的一次经典演讲中概括了几门新兴几何学的主要内容，它们恰好是爱因斯坦解释宇宙结构时所必需的工具。还有一门叫群论的数学“语言”，它是由年轻的数学天才伽罗瓦所创建的。起初仅仅用来判别代数方程式的可解性，但今天它已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家们广泛使用，以研究几乎所有的对称性问题。

此外，数学上对称的概念在某种程度上还颠覆了整个科学研究过程。几个世纪以来，科学家认识宇宙的第一步，都是在反复试验和观察后，收集汇总数据和结果，再从其中归纳出通用的自然规律。这种梳理过程从局部观察开始，之后像拼拼图一样一块块地拼起来。进入 20 世纪后，人们认识到条理清晰的数学设计描述了亚原子世界的基础结构，当代物理学家们开始反其道而行之。他们把数学对称性置于第一位，坚持认为自然法则和构成事物的基本要素应当遵循某种特定模式，于是根据这种要求，他们推演出通用规律。自然界又是如何知道应当遵循数学上的对称原理呢？

在 1975 年的某天，年轻的数学物理学家米奇・费根鲍姆在洛斯阿拉莫斯国家实验室利用他的便携式计算器演算一个简单的方程式。他渐渐注意到计算器上的数 11 越来越接近一个特定的数字∶4.669…。他惊奇地发现，在他演算其他方程式时，这个神奇的数字再次出现了。虽然费根鲍姆还不能解释其原因，但他很快就得出结论，他所发现的这个数字似乎标志着从有序到混沌过渡时的某种普遍性规律。

究竟什么原因导致那些看起来差异极大的系统行为背后却有相同的数学特征呢？经过半年的专家评审，费根鲍姆就此专题撰写的第一篇论文被退稿了。不久之后，实验证明当液态氦从下面开始加热时，其变化过程同费根鲍姆通用解决方案预测的结果恰恰一样。人们发现不仅这一种体系会如此表现。费根鲍姆发现的这个令人惊讶的数字，不但出现在流体从有序流向紊乱的转换过程中，也会出现在水龙头滴水的过程中。

这种首先在数学上“预言”规律存在的必要性，尔后才被后人证实其的确存在的例子还有很多，并且仍然在上演。数学世界和真实（物理）世界之间那种神秘的、意想不到的相互影响，在纽结理论（这是一门研究绳结的学科）中得到了生动体现。数学上的“纽结”与现实中绳索上的结十分类似，只不过这根绳索的头与尾必须拼接在一起。也就是说，数学上的纽结是在一条闭合的、没有自由活动绳端的曲线之上。

说来奇怪，创建纽结理论的主要起因是 19 世纪发展起来的一种错误的原子结构模型。这个模型在提出 20 年后就被证明是错误的了，但是纽结理论作为一门相对难以理解的理论数学分支，却在不断发展演化。出人意料的是，数学家在纽结理论领域所做的那些抽象的探索，突然间在现代科学研究中有了十分广泛的应用。其应用范围涵盖 DNA 分子结构、弦论等等。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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