19 世纪，数学的辉煌与上帝的“衰退”，能与高斯匹敌的只有柯西了

19 世纪的数学界是一派祥瑞景象∶拉格朗日仍然活跃在数学界，拉普拉斯正处在他智力的顶峰时期，傅立叶致力于研究他 1807 年的手稿，这篇手稿后来并入了他的经典著作《热论》（1822 年）；高斯（Gauss）刚刚发表了他的《算术研究》（1801 年），这是关于数论的一个里程碑，随后他又做出了许多的贡献，为他赢得了数学王子的称号；高斯的法国同行柯西在他 1814 年的一篇论文中显露出超凡的才能。

通过对这些人的工作的简单介绍，可以看出 19 世纪前半叶在发现自然的奥秘的过程中取得了巨大进步，尽管高斯在数学上做出了巨大贡献，但他把大部分时间投入了物理学研究。事实上，在将近 50 年的时间里，他一直担任天文学教授和哥廷根天文台台长。天文学占去了他的绝大多数时间和精力。1801 年他获得了他的第一项令人瞩目的成就，那年 1 月 1 日皮亚奇发现了小行星谷神星。尽管能观察到的时间只有几个星期，当时年仅 24 岁的高斯却在观察中运用了新的数学方法。并预言了这颗行星的轨迹。这一年的年底的观察结果与高斯的预言十分接近。1802 年当奥伯斯发现另一颗小行星智神星的时候，高斯又一次成功地算出了它的轨迹。在高斯的主要著作之一《天体运动论》中，对所有这些天文学方面的早期工作作了总结。

后来，应汉诺威公爵之邀，高斯对汉诺威进行了测量，奠定了大地测量学，并由此产生了微分几何的创造性思想。在 1830 年到 1840 年间对理论和实验磁学中的物理研究也获得了巨大的成功，他创造了测量地球磁场的方法。麦克斯韦，这位电磁场理论的奠基人，在他的《电学和磁学论》中说，高斯的磁学研究重新构造了整个科学∶使用的工具，观察的方法及对结果的计算。高斯的地磁学论文是物理研究的典范。为了纪念这项工作，磁场的单位叫做高斯。

尽管高斯和韦伯并没有首创电报的思想，1833 年他们却设计了一个实用的装置，能使指针向左或向右偏转，转的方向依赖于导线上电流的方向。这只是高斯的若干发明之一。他还从事光学方面的研究，这是一项自欧拉时代以来就一直被忽略的学科。他在 1838 一 1841 年间所做的研究奠定了处理光学问题一个全新的基础。

19 世纪在数学界能与高斯匹敌的就是柯西了，兴趣广泛的柯西数学论文超过 700 篇，数量上仅次于欧拉，涉及数学的所有分支。他是复变函数论的奠基人。但柯西投入到物理问题中的精力至少与投入到数学中的一样多。1815 年由于一篇关于水波的论文使他获得了法国科学院颁发的一项奖励。在小棒及弹性膜（例如金属薄片）的平衡，弹性介质中的波等方面，他都写出了奠基性的著作。他也是数学物理这一分支的创始人。他从事于由菲涅耳创建的光波理论的研究并把这项理论扩展到光的分解和偏振领域。柯西是一流的数学物理学家。

虽然傅立叶的工作与高斯和柯西并不完全在同一领域，但由于他为数学领域热的传导带来了更为实质性的进展，因此他的工作尤其值得一提。傅立叶把这一学科看作宇宙研究中最重要的一.环，因为对地球内部的热传导的研究有可能证明地球是从一种熔化状态冷却凝固而形成的，这样就可以对地球的年龄做一些估计。在这项工作过程中他发展了无穷三角级数 ——— 现在称为傅立叶级数的理论，使得它能用于许多其他的应用数学领域中。对他的工作无论用什么词来赞誉都是不过分的。

高斯、柯西、傅立叶以及其他数百人的成就似乎成了不容反驳的明证∶越来越多关于自然界的真理正在被揭示。事实是整个 19 世纪中数学巨人们一直在沿着先人铺设的道路前进，创造了更为有力的数学方法并把它成功地应用到对自然界的进一步探索中。他们加速寻求自然界的数学定律，他们似乎被这样一种信念所驱使∶他们就是神派来揭示上帝意图的。

假如他们对一些同行的行为稍加注意，那么，也许他们会对即将面临的灾难有所准备。培根早就在他的《新工具》（1620 年）中写道∶

一个群体的观念是与生俱来的，与群体和种族关系甚密。因而人的感觉有时错误地被当作事物的标准。另一方面，所有感觉上的或是心智上的领悟力，依赖于人而不是宇宙。而人的心智就像不平坦的镜面，把自己的性质转赋给了事物。光线原由事物发出，而镜子使之扭曲变形。

在同一部著作中培根倡议用经验和实验作为所有知识的基础，他写道，

推理建立起来的公理不足以产生新的发现，因为自然界的奥秘远胜过推理的奥秘。

是什么导致了上帝在设计宇宙中作用的削弱，即使是最忠实的信徒也会无意地在这个问题上发生分歧。

哥白尼，开普勒都将他们的日心说理论看作是上帝的数学智慧的明证。但它却是与《圣经》中人的重要性相冲突的。伽利略、波义耳、牛顿坚持说他们进行科学研究的目的在于证明上帝的意图和存在，但实际上他们的工作中甚少涉及上帝。当然，正如我们所看到的那样，伽利略是相信上帝的数学设计的，他之所以这样说只是为了说明在解释自然界的奥秘时，不应该引入其他的神秘的或是超自然的力量。

在伽利略的时代，万能的上帝能改变他的设计这一信仰占着统治地位。而笛卡尔却宣称自然界的法则是不可改变的。这就无疑地限制了上帝的能力。牛顿也相信宇宙的固有秩序，并且指望上帝依照自己的旨意来维持世界运转。他把这比作钟表匠修理钟表来使之正常工作。牛顿有充分的理由相信上帝的创造∶尽管他十分清楚由于一颗行星的轨迹受到其他行星的影响从而不是一个真正的椭圆，他却不能从数学上证明这种偏离是由于其他行星对它的引力产生的，因此他认为，除非是上帝按照自己的计划继续使宇宙运行，否则不可能维持其稳定。

莱布尼茨反对这种看法，在他 1715 年 11 月给牛顿的拥护者、哲学家克拉克的信中，他这样评价牛顿关于上帝经常需要给宇宙修理和上弦的观点的∶

上帝似乎并没有足够的远见维持世界的永远运动。…… 在我看来，世界上的力和能是恒定的，依据自然法则从物质的一部分转移到另一部分而已。

莱布尼茨指责牛顿否认了上帝的能力。实际上，莱布尼茨还指责牛顿使英国的信仰日趋衰弱。

莱布尼茨的话并没有说错，牛顿的工作无意中使自然科学第一次从神学中分离或者解放出来。伽利略坚持说自然科学必须与神学相分离，而牛顿在他的《原理》一书中坚持这一原则，朝着对自然现象给以纯数学的解释迈进了一大步。因此上帝越来越多地被排斥在科学理论的数学描述之外了。实际上，牛顿所没能解释的那些反常现象在后来的研究中得到了根本上的解释。

制约天体和地面物体运动的普适法则逐渐统治了整个知识界，而且预言和观察结果的持续一致说明了这法则的完善。尽管在牛顿之后，仍然有人认为这种完美的设计出自于上帝之手，但上帝已退到幕后。宇宙的数学法则则成为了焦点。莱布尼茨注意到在牛顿的《原理》中暗示着∶不论有没有上帝，世界依然我行我素。追求纯粹的数学结果的目的逐渐取代了对上帝的设计的关注。虽然欧拉之后的许多数学家仍然相信上帝的存在，相信上帝对世界的设计，以及数学作为一门科学其主要功能是提供破译这个设计的工具，但是随着数学的进一步发展以及其后的更多的发展，数学研究从神那儿得到的启示越来越少，上帝的存在性也变得模糊起来。

拉格朗日、拉普拉斯虽出身天主教世家，却是无神论者。拉普拉斯完全否认上帝是世界的数学设计者。有个著名的故事说，拉普拉斯把他的《天体力学》呈献给拿破仑时，后者说∶“拉普拉斯先生，他们告诉我，你写了这本关于宇宙系统的书，却根本没有提到它的创造者。”据说拉普拉斯是这样回答的∶“我不需要这种假说。"自然代替了上帝，正如高斯所说∶" 你，自然，我的女神，我对你的规律的贡献是有限的。”高斯确信有一个无时不在，无所不知，无所不能的上帝，但却认为上帝与数学及宇宙的数学规律探索没有丝毫联系。

哈密尔顿关于最小作用原理的工作也揭示了知识界观点的转变，在 1833 年的一篇文章中，他写道∶

虽然最小作用定理已立足于物理学最高级定理之林，然而从宇宙经济的基地上看，当时人们普遍拒绝把它作为宇宙规律的主张。对此，拒绝恰恰在于其他理由，事实上伪装节约的都是常常浪费地消耗着…… 因此，我们不能认为这个数量的节约是由宇宙的神的思想设计的。不过，某种高度的简洁可以被认为是包含在这一思想中。

回顾一下就可以看出，自然是上帝的数学设计这一信条正在被数学家们的工作所削弱。学者们越来越多地相信，人的推理是最有力的工具和最好的证明，因为它是数学家的成果。不是所有 19 世纪的数学家都否认上帝的地位。柯西指责人们“毫不犹豫地抛弃与已发现的定理矛盾的一切假说。”然而把上帝看作宇宙的数学设计者这样的信仰还是开始衰退了。这种信仰的衰退不久就产生了这样一个问题，即为什么自然的数学法则一定是真理呢？最早对真理问题提出质疑的人中有狄德罗。在他《自然的解释》中说，数学家就像赌徒∶二者都与自己发明的抽象规则赌博。他们的研究主题只是毫无事实基础的规则。学者冯登利在他的《世界的多元性》（1686 年）中对此也同样持批评态度。他对天体运动法则不变性的攻击是这样的∶只要玫瑰花还在开放，园丁就永远不会死去。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

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